Номер 17.11, страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

17.11. Подберите коэффициенты $a$ и $b$ так, чтобы на данном рисунке был изображён график функции $y = a \sin x + b$ или $y = a \cos x + b$:

а) рис. 46;

Рис. 46

б) рис. 47;

Рис. 47

в) рис. 48;

Рис. 48

г) рис. 49.

Рис. 49

Для определения коэффициентов $a$ и $b$ в функциях вида $y = a \sin x + b$ или $y = a \cos x + b$ воспользуемся следующими свойствами:

• Коэффициент $b$ определяет вертикальный сдвиг графика и равен среднему арифметическому максимального ($y_{max}$) и минимального ($y_{min}$) значений функции: $b = \frac{y_{max} + y_{min}}{2}$. Эта величина соответствует ординате средней линии графика.
• Амплитуда колебаний равна $|a|$ и вычисляется как половина разности между максимальным и минимальным значениями: $|a| = \frac{y_{max} - y_{min}}{2}$.
• Выбор между синусом и косинусом, а также знак коэффициента $a$ зависят от поведения функции в точке $x=0$.
  • Если в $x=0$ функция достигает своего максимума, то это $y=a \cos x + b$ с $a > 0$.
  • Если в $x=0$ функция достигает своего минимума, то это $y=a \cos x + b$ с $a < 0$.
  • Если в $x=0$ функция пересекает среднюю линию ($y=b$) и возрастает, то это $y=a \sin x + b$ с $a > 0$.
  • Если в $x=0$ функция пересекает среднюю линию ($y=b$) и убывает, то это $y=a \sin x + b$ с $a < 0$.

а) рис. 46;

Из графика находим максимальное и минимальное значения: $y_{max} = 3$ и $y_{min} = -1$.
Вычисляем коэффициент $b$:
$b = \frac{3 + (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Вычисляем амплитуду $|a|$:
$|a| = \frac{3 - (-1)}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
При $x=0$ функция достигает своего минимального значения $y = -1$. Это соответствует функции косинуса с отрицательным коэффициентом $a$. Таким образом, $a = -2$.
Искомая функция имеет вид $y = -2 \cos x + 1$.
Ответ: $a = -2$, $b = 1$.

б) рис. 47;

Из графика находим максимальное и минимальное значения: $y_{max} = 3,5$ и $y_{min} = 0,5$.
Вычисляем коэффициент $b$:
$b = \frac{3,5 + 0,5}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
Вычисляем амплитуду $|a|$:
$|a| = \frac{3,5 - 0,5}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$.
При $x=0$ график проходит через среднюю линию $y=2$ и убывает. Это соответствует функции синуса с отрицательным коэффициентом $a$. Таким образом, $a = -1,5$.
Искомая функция имеет вид $y = -1,5 \sin x + 2$.
Ответ: $a = -1,5$, $b = 2$.

в) рис. 48;

Из графика находим максимальное и минимальное значения: $y_{max} = -1,25$ и $y_{min} = -1,75$.
Вычисляем коэффициент $b$:
$b = \frac{-1,25 + (-1,75)}{2} = \frac{-3}{2} = -1,5$.
Вычисляем амплитуду $|a|$:
$|a| = \frac{-1,25 - (-1,75)}{2} = \frac{0,5}{2} = 0,25$.
При $x=0$ функция достигает своего максимального значения $y = -1,25$. Это соответствует функции косинуса с положительным коэффициентом $a$. Таким образом, $a = 0,25$.
Искомая функция имеет вид $y = 0,25 \cos x - 1,5$.
Ответ: $a = 0,25$, $b = -1,5$.

г) рис. 49;

Из графика находим максимальное и минимальное значения: $y_{max} = 2,5$ и $y_{min} = -3,5$.
Вычисляем коэффициент $b$:
$b = \frac{2,5 + (-3,5)}{2} = \frac{-1}{2} = -0,5$.
Вычисляем амплитуду $|a|$:
$|a| = \frac{2,5 - (-3,5)}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
При $x=0$ график проходит через среднюю линию $y=-0,5$ и возрастает. Это соответствует функции синуса с положительным коэффициентом $a$. Таким образом, $a = 3$.
Искомая функция имеет вид $y = 3 \sin x - 0,5$.
Ответ: $a = 3$, $b = -0,5$.