Номер 17.7, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

17.7. Постройте график функции:

a) $y = 2 \sin x - 1;$

б) $y = -\frac{1}{2} \cos x + 2;$

в) $y = -\frac{3}{2} \sin x + 3;$

г) $y = 3 \cos x - 2.$

Для построения графика функции $y = 2 \sin x - 1$ выполним последовательные преобразования, исходя из графика базовой функции $y = \sin x$.

1. Построим график функции $y = \sin x$. Это стандартная синусоида с периодом $2\pi$, амплитудой 1 и областью значений $[-1, 1]$.
2. Выполним растяжение графика $y = \sin x$ от оси $Ox$ в 2 раза. Получим график функции $y_1 = 2 \sin x$. Амплитуда колебаний увеличится до 2, а область значений станет $[-2, 2]$.
3. Сдвинем график $y_1 = 2 \sin x$ на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$. Получим искомый график $y = 2 \sin x - 1$.

Итоговый график является синусоидой со следующими характеристиками:

• Период: $T = 2\pi$.
• Область значений: $E(y) = [-2 - 1, 2 - 1] = [-3, 1]$.
• Ключевые точки на периоде $[0, 2\pi]$: точка $(0, -1)$, точка максимума $(\frac{\pi}{2}, 1)$, точка пересечения со средней линией $(\pi, -1)$, точка минимума $(\frac{3\pi}{2}, -3)$.

Ответ: График функции $y = 2 \sin x - 1$ — это синусоида, полученная из графика $y=\sin x$ растяжением в 2 раза вдоль оси $Oy$ и сдвигом на 1 единицу вниз. Амплитуда равна 2, период $2\pi$, область значений $[-3, 1]$.

Для построения графика функции $y = -\frac{1}{2}\cos x + 2$ выполним последовательные преобразования, исходя из графика базовой функции $y = \cos x$.

1. Построим график функции $y = \cos x$. Это стандартная косинусоида с периодом $2\pi$, амплитудой 1 и областью значений $[-1, 1]$.
2. Выполним сжатие графика $y = \cos x$ к оси $Ox$ в 2 раза и отразим его относительно оси $Ox$. Получим график функции $y_1 = -\frac{1}{2}\cos x$. Амплитуда колебаний станет $\frac{1}{2}$, а область значений $[-0.5, 0.5]$.
3. Сдвинем график $y_1 = -\frac{1}{2}\cos x$ на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Получим искомый график $y = -\frac{1}{2}\cos x + 2$.

Итоговый график является косинусоидой со следующими характеристиками:

• Период: $T = 2\pi$.
• Область значений: $E(y) = [-0.5 + 2, 0.5 + 2] = [1.5, 2.5]$.
• Ключевые точки на периоде $[0, 2\pi]$: точка минимума $(0, 1.5)$, точка пересечения со средней линией $(\frac{\pi}{2}, 2)$, точка максимума $(\pi, 2.5)$, точка пересечения со средней линией $(\frac{3\pi}{2}, 2)$.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{2}\cos x + 2$ — это косинусоида, полученная из графика $y=\cos x$ сжатием в 2 раза к оси $Ox$, отражением относительно оси $Ox$ и сдвигом на 2 единицы вверх. Амплитуда $\frac{1}{2}$, период $2\pi$, область значений $[1.5, 2.5]$.

Для построения графика функции $y = -\frac{3}{2}\sin x + 3$ выполним последовательные преобразования, исходя из графика базовой функции $y = \sin x$.

1. Построим график функции $y = \sin x$.
2. Выполним растяжение графика $y = \sin x$ от оси $Ox$ в $\frac{3}{2}$ раза и отразим его относительно оси $Ox$. Получим график функции $y_1 = -\frac{3}{2}\sin x$. Амплитуда колебаний станет $1.5$, а область значений $[-1.5, 1.5]$.
3. Сдвинем график $y_1 = -\frac{3}{2}\sin x$ на 3 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Получим искомый график $y = -\frac{3}{2}\sin x + 3$.

Итоговый график является синусоидой со следующими характеристиками:

• Период: $T = 2\pi$.
• Область значений: $E(y) = [-1.5 + 3, 1.5 + 3] = [1.5, 4.5]$.
• Ключевые точки на периоде $[0, 2\pi]$: точка $(0, 3)$, точка минимума $(\frac{\pi}{2}, 1.5)$, точка пересечения со средней линией $(\pi, 3)$, точка максимума $(\frac{3\pi}{2}, 4.5)$.

Ответ: График функции $y = -\frac{3}{2}\sin x + 3$ — это синусоида, полученная из графика $y=\sin x$ растяжением в 1.5 раза от оси $Ox$, отражением относительно оси $Ox$ и сдвигом на 3 единицы вверх. Амплитуда 1.5, период $2\pi$, область значений $[1.5, 4.5]$.

Для построения графика функции $y = 3\cos x - 2$ выполним последовательные преобразования, исходя из графика базовой функции $y = \cos x$.

1. Построим график функции $y = \cos x$.
2. Выполним растяжение графика $y = \cos x$ от оси $Ox$ в 3 раза. Получим график функции $y_1 = 3\cos x$. Амплитуда колебаний станет 3, а область значений $[-3, 3]$.
3. Сдвинем график $y_1 = 3\cos x$ на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$. Получим искомый график $y = 3\cos x - 2$.

Итоговый график является косинусоидой со следующими характеристиками:

• Период: $T = 2\pi$.
• Область значений: $E(y) = [-3 - 2, 3 - 2] = [-5, 1]$.
• Ключевые точки на периоде $[0, 2\pi]$: точка максимума $(0, 1)$, точка пересечения со средней линией $(\frac{\pi}{2}, -2)$, точка минимума $(\pi, -5)$, точка пересечения со средней линией $(\frac{3\pi}{2}, -2)$.

Ответ: График функции $y = 3\cos x - 2$ — это косинусоида, полученная из графика $y=\cos x$ растяжением в 3 раза вдоль оси $Oy$ и сдвигом на 2 единицы вниз. Амплитуда 3, период $2\pi$, область значений $[-5, 1]$.