Номер 17.9, страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

17.9. a) $y = 2 \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 1;$

б) $y = -3 \cos \left(x - \frac{5\pi}{6}\right) - 2;$

в) $y = -1,5 \sin \left(x - \frac{2\pi}{3}\right) + 2;$

г) $y = 2,5 \cos \left(x + \frac{2\pi}{3}\right) - 1,5.$

Для нахождения области значений (множества всех значений, которые может принимать функция) для каждой из заданных функций, мы будем исходить из того, что базовые тригонометрические функции синус и косинус принимают значения в отрезке $[-1, 1]$.

а) $y = 2 \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 1$

1. Область значений функции синус — отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого значения аргумента выполняется неравенство:

$-1 \le \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \le 1$

2. Умножим все части этого двойного неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знаки неравенства не изменятся:

$2 \cdot (-1) \le 2 \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \le 2 \cdot 1$

$-2 \le 2 \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \le 2$

3. Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$-2 + 1 \le 2 \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 1 \le 2 + 1$

$-1 \le y \le 3$

Таким образом, область значений функции — это отрезок $[-1, 3]$.

Ответ: $E(y) = [-1; 3]$.

б) $y = -3 \cos\left(x - \frac{5\pi}{6}\right) - 2$

1. Область значений функции косинус — отрезок $[-1, 1]$:

$-1 \le \cos\left(x - \frac{5\pi}{6}\right) \le 1$

2. Умножим все части неравенства на -3. Так как -3 — отрицательное число, знаки неравенства изменятся на противоположные:

$(-3) \cdot (-1) \ge -3 \cos\left(x - \frac{5\pi}{6}\right) \ge (-3) \cdot 1$

$3 \ge -3 \cos\left(x - \frac{5\pi}{6}\right) \ge -3$

Запишем это неравенство в привычном виде, от меньшего к большему:

$-3 \le -3 \cos\left(x - \frac{5\pi}{6}\right) \le 3$

3. Вычтем 2 из всех частей неравенства:

$-3 - 2 \le -3 \cos\left(x - \frac{5\pi}{6}\right) - 2 \le 3 - 2$

$-5 \le y \le 1$

Следовательно, область значений функции — это отрезок $[-5, 1]$.

Ответ: $E(y) = [-5; 1]$.

в) $y = -1,5 \sin\left(x - \frac{2\pi}{3}\right) + 2$

1. Используем свойство ограниченности функции синуса:

$-1 \le \sin\left(x - \frac{2\pi}{3}\right) \le 1$

2. Умножим все части неравенства на -1,5. Так как -1,5 — отрицательное число, знаки неравенства изменятся на противоположные:

$(-1,5) \cdot (-1) \ge -1,5 \sin\left(x - \frac{2\pi}{3}\right) \ge (-1,5) \cdot 1$

$1,5 \ge -1,5 \sin\left(x - \frac{2\pi}{3}\right) \ge -1,5$

Перепишем в стандартном порядке:

$-1,5 \le -1,5 \sin\left(x - \frac{2\pi}{3}\right) \le 1,5$

3. Прибавим 2 ко всем частям неравенства:

$-1,5 + 2 \le -1,5 \sin\left(x - \frac{2\pi}{3}\right) + 2 \le 1,5 + 2$

$0,5 \le y \le 3,5$

Таким образом, область значений функции — это отрезок $[0,5; 3,5]$.

Ответ: $E(y) = [0,5; 3,5]$.

г) $y = 2,5 \cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) - 1,5$

1. Используем свойство ограниченности функции косинуса:

$-1 \le \cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) \le 1$

2. Умножим все части неравенства на 2,5. Так как 2,5 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$2,5 \cdot (-1) \le 2,5 \cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) \le 2,5 \cdot 1$

$-2,5 \le 2,5 \cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) \le 2,5$

3. Вычтем 1,5 из всех частей неравенства:

$-2,5 - 1,5 \le 2,5 \cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) - 1,5 \le 2,5 - 1,5$

$-4 \le y \le 1$

Следовательно, область значений функции — это отрезок $[-4; 1]$.

Ответ: $E(y) = [-4; 1]$.