Номер 17.15, страница 116, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

17.15. Решите уравнение:

а) $2 \sin x - 1 = \left(x - \frac{\pi}{2}\right)^2 - \frac{\pi^2}{9};$

б) $2 \cos x = \frac{9x^2}{\pi^2}.$

а) $2 \sin x - 1 = \left(x - \frac{\pi}{2}\right)^2 - \frac{\pi^2}{9}$

Данное уравнение является трансцендентным, поскольку содержит как тригонометрическую, так и алгебраическую (квадратичную) функции от $x$. Такие уравнения редко решаются стандартными аналитическими методами. Часто решение можно найти, анализируя свойства функций в левой и правой частях.

Рассмотрим правую часть уравнения: $g(x) = \left(x - \frac{\pi}{2}\right)^2 - \frac{\pi^2}{9}$. Это парабола с ветвями, направленными вверх. Попробуем найти, при каких значениях $x$ правая часть обращается в ноль, так как это упростит выражение.

$g(x) = 0 \implies \left(x - \frac{\pi}{2}\right)^2 - \frac{\pi^2}{9} = 0 \implies \left(x - \frac{\pi}{2}\right)^2 = \frac{\pi^2}{9}$.

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных случая:
1) $x - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{3} \implies x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi + 2\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
2) $x - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{3} \implies x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - 2\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.

Теперь необходимо проверить, являются ли найденные значения $x$ корнями исходного уравнения. Для этого подставим их в левую часть $f(x) = 2 \sin x - 1$ и проверим, получится ли ноль (так как при этих $x$ правая часть равна нулю).

Проверка для $x = \frac{\pi}{6}$:
$2 \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) - 1 = 2 \cdot \frac{1}{2} - 1 = 1 - 1 = 0$.
Левая часть равна правой (0 = 0), следовательно, $x = \frac{\pi}{6}$ является решением.

Проверка для $x = \frac{5\pi}{6}$:
$2 \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) - 1 = 2 \cdot \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) - 1 = 2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) - 1 = 2 \cdot \frac{1}{2} - 1 = 0$.
Левая часть равна правой (0 = 0), следовательно, $x = \frac{5\pi}{6}$ также является решением.

Чтобы убедиться в отсутствии других корней, можно сравнить поведение функций. Левая часть $f(x) = 2\sin x - 1$ ограничена диапазоном $[-3, 1]$. Правая часть $g(x) = \left(x - \frac{\pi}{2}\right)^2 - \frac{\pi^2}{9}$ — парабола, неограниченная сверху. При больших по модулю значениях $x$ правая часть будет больше 1, поэтому других решений быть не может. В интервале $(\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6})$ левая часть положительна, а правая — отрицательна, поэтому пересечений там нет.

Ответ: $x_1 = \frac{\pi}{6}, x_2 = \frac{5\pi}{6}$.

б) $2 \cos x = \frac{9x^2}{\pi^2}$

Это также трансцендентное уравнение. Решим его методом оценки и анализа свойств функций.
Обозначим левую часть как $f(x) = 2 \cos x$ и правую как $g(x) = \frac{9x^2}{\pi^2}$.

Рассмотрим области значений этих функций:
1. Для $f(x) = 2 \cos x$, область значений — это отрезок $[-2, 2]$, так как $-1 \le \cos x \le 1$.
2. Для $g(x) = \frac{9x^2}{\pi^2}$, область значений — это луч $[0, +\infty)$, так как $x^2 \ge 0$.

Решение уравнения существует только там, где области значений пересекаются, то есть на отрезке $[0, 2]$. Это накладывает ограничения:
$0 \le 2 \cos x \le 2 \implies 0 \le \cos x \le 1$.
$0 \le \frac{9x^2}{\pi^2} \le 2 \implies x^2 \le \frac{2\pi^2}{9} \implies |x| \le \frac{\pi\sqrt{2}}{3}$.

Обе функции, $f(x)$ и $g(x)$, являются четными, так как $\cos(-x) = \cos x$ и $(-x)^2 = x^2$. Это значит, что если $x_0$ является решением, то и $-x_0$ также будет решением. Поэтому достаточно найти решения для $x \ge 0$.

Попробуем найти решение методом подбора. Рассмотрим значение $x = \frac{\pi}{3}$:
Левая часть: $f\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.
Правая часть: $g\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{9(\frac{\pi}{3})^2}{\pi^2} = \frac{9 \cdot \frac{\pi^2}{9}}{\pi^2} = \frac{\pi^2}{\pi^2} = 1$.
Поскольку левая и правая части равны, $x = \frac{\pi}{3}$ является корнем уравнения.

Так как функции четные, $x = -\frac{\pi}{3}$ также является корнем.

Докажем, что других корней нет. Рассмотрим графики функций. $f(x) = 2\cos x$ на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ является вогнутой функцией (её "вершина" смотрит вверх), а $g(x) = \frac{9x^2}{\pi^2}$ — это парабола, которая является выпуклой функцией (её "вершина" смотрит вниз). Две такие функции могут пересечься не более чем в двух точках. Мы уже нашли две точки пересечения: $\frac{\pi}{3}$ и $-\frac{\pi}{3}$. Следовательно, других решений нет.

Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{3}$.