Номер 17.19, страница 116, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

17.19. а) $y = \frac{1}{\sin x} + \frac{1}{|\sin x|}$;

б) $y = \frac{2}{\cos x} + \frac{1}{|\cos x|}$.

а) Рассмотрим функцию $y = \frac{1}{\sin x} + \frac{1}{|\sin x|}$.

Область определения функции (ОДЗ) задается условием, что знаменатели не равны нулю, то есть $\sin x \neq 0$. Отсюда следует, что $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для упрощения выражения необходимо раскрыть модуль $|\sin x|$. Это делается рассмотрением двух случаев в зависимости от знака $\sin x$.

1. Если $\sin x > 0$. Это условие выполняется для углов $x$, находящихся в I и II четвертях, то есть при $x \in (2\pi n, \pi + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$. В этом случае $|\sin x| = \sin x$, и функция принимает вид:
$y = \frac{1}{\sin x} + \frac{1}{\sin x} = \frac{2}{\sin x}$.

2. Если $\sin x < 0$. Это условие выполняется для углов $x$, находящихся в III и IV четвертях, то есть при $x \in (\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$. В этом случае $|\sin x| = -\sin x$, и функция принимает вид:
$y = \frac{1}{\sin x} + \frac{1}{-\sin x} = \frac{1}{\sin x} - \frac{1}{\sin x} = 0$.

Таким образом, данная функция является кусочно-заданной и может быть записана в следующем виде:

$y = \begin{cases} \frac{2}{\sin x}, & \text{если } \sin x > 0 \\ 0, & \text{если } \sin x < 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \frac{2}{\sin x}$ при $x \in (2\pi n, \pi + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$; $y = 0$ при $x \in (\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

б) Рассмотрим функцию $y = \frac{2}{\cos x} + \frac{1}{|\cos x|}$.

Область определения функции (ОДЗ) задается условием $\cos x \neq 0$. Отсюда следует, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для упрощения выражения необходимо раскрыть модуль $|\cos x|$. Это делается рассмотрением двух случаев в зависимости от знака $\cos x$.

1. Если $\cos x > 0$. Это условие выполняется для углов $x$, находящихся в I и IV четвертях, то есть при $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$. В этом случае $|\cos x| = \cos x$, и функция принимает вид:
$y = \frac{2}{\cos x} + \frac{1}{\cos x} = \frac{3}{\cos x}$.

2. Если $\cos x < 0$. Это условие выполняется для углов $x$, находящихся в II и III четвертях, то есть при $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$. В этом случае $|\cos x| = -\cos x$, и функция принимает вид:
$y = \frac{2}{\cos x} + \frac{1}{-\cos x} = \frac{2}{\cos x} - \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{\cos x}$.

Таким образом, данная функция является кусочно-заданной и может быть записана в следующем виде:

$y = \begin{cases} \frac{3}{\cos x}, & \text{если } \cos x > 0 \\ \frac{1}{\cos x}, & \text{если } \cos x < 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \frac{3}{\cos x}$ при $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$; $y = \frac{1}{\cos x}$ при $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.