Номер 17.5, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

17.5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$y = 2 \cos x:$

а) на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right];$

б) на интервале $\left(0; \frac{3\pi}{2}\right);$

в) на полуинтервале $\left[\frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2}\right);$

г) на отрезке $\left[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{4}\right].$

а) на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = 2 \cos x$ на замкнутом отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, необходимо вычислить значения функции на концах этого отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем сравнить полученные результаты.
1. Вычислим значения функции на концах отрезка:
$y(-\frac{\pi}{2}) = 2 \cos(-\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot 0 = 0$.
$y(\frac{\pi}{2}) = 2 \cos(\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot 0 = 0$.
2. Найдем критические точки функции. Для этого найдем производную и приравняем её к нулю:
$y' = (2 \cos x)' = -2 \sin x$.
$-2 \sin x = 0 \implies \sin x = 0$.
Решения этого уравнения имеют вид $x = \pi k$, где $k$ – целое число.
3. Определим, какие из критических точек принадлежат отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
При $k=0$, $x = 0$. Эта точка принадлежит данному отрезку.
При других целых $k$ (например, $k=1, x=\pi$ или $k=-1, x=-\pi$) точки не попадают в отрезок.
4. Вычислим значение функции в найденной критической точке:
$y(0) = 2 \cos(0) = 2 \cdot 1 = 2$.
5. Сравним все полученные значения: $0$ (на концах отрезка) и $2$ (в критической точке).
Наибольшее значение функции на отрезке – это $2$.
Наименьшее значение функции на отрезке – это $0$.
Ответ: наибольшее значение $2$, наименьшее значение $0$.

б) на интервале $(0; \frac{3\pi}{2})$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений на открытом интервале $(0; \frac{3\pi}{2})$, мы ищем значения в критических точках внутри интервала и исследуем поведение функции на границах интервала.
1. Критические точки функции $y = 2 \cos x$ – это $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Выберем те, что лежат в интервале $(0; \frac{3\pi}{2})$. (т.е. $0 < x < 4.71...$)
При $k=1$, $x=\pi$. Эта точка принадлежит интервалу.
Значение функции в этой точке: $y(\pi) = 2 \cos(\pi) = 2 \cdot (-1) = -2$.
2. Исследуем поведение функции на границах интервала.
При $x$, стремящемся к $0$ справа ($x \to 0^+$), $\cos x \to 1$, и $y \to 2$. Однако, так как $x>0$, $\cos x < 1$, и $y < 2$. Таким образом, функция стремится к $2$, но не достигает этого значения.
При $x$, стремящемся к $\frac{3\pi}{2}$ слева ($x \to \frac{3\pi}{2}^-$), $\cos x \to 0$, и $y \to 0$.
3. Сравнивая значения, видим, что функция достигает своего минимального значения $-2$ в точке $x=\pi$. Наибольшего значения функция не достигает, так как она только стремится к $2$, но никогда не равна $2$ на данном интервале.
Ответ: наибольшего значения не существует, наименьшее значение $-2$.

в) на полуинтервале $[\frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2})$

Найдём значения функции на замкнутом конце, в критических точках внутри интервала и исследуем поведение на открытом конце.
1. Значение функции на левом конце полуинтервала:
$y(\frac{\pi}{3}) = 2 \cos(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.
2. Критические точки $x = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
В полуинтервал $[\frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2})$ (т.е. $[1.04...; 4.71...)$) попадает точка $x = \pi$ (при $k=1$).
Значение функции в этой точке: $y(\pi) = 2 \cos(\pi) = -2$.
3. Поведение функции на правом, открытом конце:
При $x \to \frac{3\pi}{2}^-$, $\cos x \to 0$, и $y \to 0$.
4. Сравним полученные значения: $1$ (на левом конце) и $-2$ (в критической точке). Предельное значение на правом конце равно $0$.
Наибольшее из этих значений – $1$.
Наименьшее из этих значений – $-2$.
Ответ: наибольшее значение $1$, наименьшее значение $-2$.

г) на отрезке $[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{4}]$

Действуем так же, как и в пункте а), исследуя значения на концах отрезка и в критических точках внутри него.
1. Значения на концах отрезка:
$y(-\frac{3\pi}{2}) = 2 \cos(-\frac{3\pi}{2}) = 2 \cos(\frac{3\pi}{2}) = 2 \cdot 0 = 0$.
$y(-\frac{\pi}{4}) = 2 \cos(-\frac{\pi}{4}) = 2 \cos(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.
2. Критические точки $x = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
В отрезок $[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{4}]$ (т.е. $[-4.71...; -0.78...]$) попадает точка $x = -\pi$ (при $k=-1$).
3. Значение функции в критической точке:
$y(-\pi) = 2 \cos(-\pi) = 2 \cos(\pi) = -2$.
4. Сравним все полученные значения: $0$, $\sqrt{2}$ (приблизительно $1.414$) и $-2$.
Наибольшее из них – $\sqrt{2}$.
Наименьшее из них – $-2$.
Ответ: наибольшее значение $\sqrt{2}$, наименьшее значение $-2$.