Страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

16.64. Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} 2x + 2\pi, \text{ если } x \le -\pi, \\ \sin x, \text{ если } -\pi < x \le 0, \\ -2x, \text{ если } x > 0. \end{cases}$

a) Вычислите: $f(-\pi - 2), f\left(-\frac{\pi}{6}\right), f(2)$;

б) постройте график функции $y = f(x)$;

в) прочитайте график функции $y = f(x)$.

a) Вычислите: $f(-\pi - 2), f(-\frac{\pi}{6}), f(2)$

Для вычисления значений функции в заданных точках необходимо определить, какому из трех интервалов, указанных в определении функции, принадлежит аргумент $x$.

1. Вычислим $f(-\pi - 2)$.
   Так как $2 > 0$, то $-\pi - 2 < -\pi$. Следовательно, аргумент $x = -\pi - 2$ принадлежит промежутку $x \le -\pi$.
   Для этого промежутка функция задается формулой $f(x) = 2x + 2\pi$.
   Подставляем значение аргумента:
   $f(-\pi - 2) = 2(-\pi - 2) + 2\pi = -2\pi - 4 + 2\pi = -4$.

2. Вычислим $f(-\frac{\pi}{6})$.
   Значение аргумента $x = -\frac{\pi}{6}$ удовлетворяет неравенству $-\pi < -\frac{\pi}{6} \le 0$.
   Для этого промежутка функция задается формулой $f(x) = \sin x$.
   Подставляем значение аргумента:
   $f(-\frac{\pi}{6}) = \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -0.5$.

3. Вычислим $f(2)$.
   Значение аргумента $x=2$ удовлетворяет неравенству $x > 0$.
   Для этого промежутка функция задается формулой $f(x) = -2x$.
   Подставляем значение аргумента:
   $f(2) = -2 \cdot 2 = -4$.

Ответ: $f(-\pi - 2) = -4$, $f(-\frac{\pi}{6}) = -0.5$, $f(2) = -4$.

б) постройте график функции $y = f(x)$

График функции $y=f(x)$ состоит из трех частей, каждая из которых строится на своем промежутке:

• На промежутке $(-\infty, -\pi]$ строим график функции $y = 2x + 2\pi$. Это луч прямой, проходящий через точки $(-\pi, 0)$ и, например, $(-2\pi, -2\pi)$. Точка $(-\pi, 0)$ является концом луча и принадлежит графику.

• На промежутке $(-\pi, 0]$ строим график функции $y = \sin x$. Это часть синусоиды, которая проходит через точки $(-\pi, 0)$ (начальная точка, не принадлежит графику), $(-\frac{\pi}{2}, -1)$ (точка минимума) и $(0, 0)$ (конечная точка, принадлежит графику).

• На промежутке $(0, \infty)$ строим график функции $y = -2x$. Это луч прямой, исходящий из точки $(0, 0)$ (начальная точка, не принадлежит графику) и проходящий, например, через точку $(2, -4)$.

Так как $\lim_{x \to -\pi^+} \sin x = \sin(-\pi) = 0$ и $f(-\pi) = 2(-\pi) + 2\pi = 0$, а также $\lim_{x \to 0^+} (-2x) = 0$ и $f(0) = \sin(0) = 0$, то функция является непрерывной в точках $x = -\pi$ и $x = 0$. Таким образом, график функции является непрерывной линией без разрывов.

График функции $y = f(x)$:

Ответ: График функции представлен на рисунке выше.

в) прочитайте график функции $y = f(x)$.

Основные свойства функции $y = f(x)$, определенные на основе ее графика и аналитического задания:

• Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как функция определена для всех действительных чисел $x$.

• Область значений: $E(f) = (-\infty; 0]$. Все значения функции не превышают 0.

• Непрерывность: Функция непрерывна на всей своей области определения.

• Нули функции: $f(x) = 0$ при $x = -\pi$ и $x = 0$.

• Промежутки знакопостоянства:

  • $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty, -\pi) \cup (-\pi, 0) \cup (0, \infty)$.

  • $f(x) = 0$ при $x = -\pi, x=0$.

• Промежутки монотонности (возрастания и убывания):

  • Функция возрастает на промежутках $(-\infty, -\pi]$ и $[-\frac{\pi}{2}, 0]$.

  • Функция убывает на промежутках $[-\pi, -\frac{\pi}{2}]$ и $[0, +\infty)$.

• Точки экстремума:

  • $x = -\pi$ — точка локального максимума, $f(-\pi) = 0$.

  • $x = -\frac{\pi}{2}$ — точка локального минимума, $f(-\frac{\pi}{2}) = -1$.

  • $x = 0$ — точка локального максимума, $f(0) = 0$.

• Наибольшее и наименьшее значения: Наибольшее значение функции равно 0. Наименьшего значения функции не существует, так как функция не ограничена снизу.

• Четность и нечетность: Функция является функцией общего вида (не является ни четной, ни нечетной), так как ее область определения симметрична относительно нуля, но не выполняются условия $f(-x) = f(x)$ или $f(-x) = -f(x)$. Например, $f(2) = -4$, а $f(-2) = \sin(-2) = -\sin 2 \ne \pm 4$.

Ответ: Свойства функции перечислены выше.

16.65. Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} -x^2, & \text{если } x < 0, \\ \sin x, & \text{если } 0 \le x \le \pi, \\ -(x - \pi)^2, & \text{если } x > \pi. \end{cases}$

а) Вычислите: $f(-3), f\left(\frac{\pi}{2}\right), f(2\pi - 3);$

б) постройте график функции $y = f(x)$;

в) прочитайте график функции $y = f(x)$.

Дана кусочно-заданная функция: $f(x) = \begin{cases} -x^2, & \text{если } x < 0, \\ \sin x, & \text{если } 0 \le x \le \pi, \\ -(x - \pi)^2, & \text{если } x > \pi. \end{cases}$

а) Вычислите: $f(-3)$, $f(\frac{\pi}{2})$, $f(2\pi - 3)$;

Для вычисления значения функции в заданной точке необходимо сначала определить, какому из трех интервалов принадлежит аргумент $x$, а затем использовать соответствующую формулу.

• Вычисление $f(-3)$.
  Аргумент $x = -3$. Так как $-3 < 0$, мы используем первую формулу: $f(x) = -x^2$.
  $f(-3) = -(-3)^2 = -9$.

• Вычисление $f(\frac{\pi}{2})$.
  Аргумент $x = \frac{\pi}{2}$. Так как $0 \le \frac{\pi}{2} \le \pi$ (поскольку $\pi \approx 3.14$, то $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$), мы используем вторую формулу: $f(x) = \sin x$.
  $f(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

• Вычисление $f(2\pi - 3)$.
  Аргумент $x = 2\pi - 3$. Оценим его значение: $2\pi - 3 \approx 2 \cdot 3.14 - 3 = 6.28 - 3 = 3.28$. Сравним это значение с $\pi \approx 3.14$. Так как $3.28 > 3.14$, то $2\pi - 3 > \pi$. Следовательно, мы используем третью формулу: $f(x) = -(x - \pi)^2$.
  $f(2\pi - 3) = -((2\pi - 3) - \pi)^2 = -(\pi - 3)^2 = -(9 - 6\pi + \pi^2) = -9 + 6\pi - \pi^2$.

Ответ: $f(-3) = -9$; $f(\frac{\pi}{2}) = 1$; $f(2\pi - 3) = -(\pi - 3)^2$.

б) постройте график функции $y = f(x)$;

График функции $y = f(x)$ состоит из трех частей, каждая из которых соответствует своему интервалу.

1. На интервале $(-\infty, 0)$ функция задана формулой $y = -x^2$. Это ветвь параболы, направленная вниз, с вершиной в точке $(0, 0)$. Точка $(0, 0)$ не включается в эту часть графика (является "выколотой").

2. На отрезке $[0, \pi]$ функция задана формулой $y = \sin x$. Это одна "волна" синусоиды, начинающаяся в точке $(0, 0)$, достигающая максимума в точке $(\frac{\pi}{2}, 1)$ и заканчивающаяся в точке $(\pi, 0)$. Обе конечные точки отрезка, $(0, 0)$ и $(\pi, 0)$, включаются в график.

3. На интервале $(\pi, +\infty)$ функция задана формулой $y = -(x - \pi)^2$. Это ветвь параболы, смещенной вправо на $\pi$ единиц, с ветвями, направленными вниз. Вершина этой параболы находится в точке $(\pi, 0)$. Точка $(\pi, 0)$ не включается в эту часть графика.

Соединим эти три части. В точке $x=0$ график непрерывен, так как левосторонний предел $\lim_{x\to 0^-}(-x^2) = 0$ совпадает со значением функции $f(0) = \sin(0) = 0$. Аналогично, в точке $x=\pi$ график также непрерывен, поскольку правосторонний предел $\lim_{x\to \pi^+}(-(x - \pi)^2) = 0$ совпадает со значением $f(\pi) = \sin(\pi) = 0$.

График функции $y = f(x)$ выглядит следующим образом:

Ответ: График функции построен и представлен на рисунке выше.

в) прочитайте график функции $y = f(x)$.

"Прочитать график" означает описать основные свойства функции на основе ее графика и аналитического задания.

• Область определения: Функция определена для всех действительных чисел. $D(f) = (-\infty; +\infty)$ или $D(f) = \mathbb{R}$.

• Область значений: На интервале $(-\infty, 0)$ значения функции принадлежат $(-\infty, 0)$. На отрезке $[0, \pi]$ значения принадлежат $[0, 1]$. На интервале $(\pi, +\infty)$ значения снова принадлежат $(-\infty, 0)$. Объединяя эти множества, получаем $E(f) = (-\infty; 1]$.

• Непрерывность: Функция непрерывна на всей своей области определения, т.е. при $x \in \mathbb{R}$.

• Нули функции: $f(x) = 0$ при $x=0$ и $x=\pi$.

• Промежутки знакопостоянства:
  $f(x) > 0$ при $x \in (0; \pi)$.
  $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (\pi; +\infty)$.

• Промежутки монотонности (возрастания и убывания):
  Функция возрастает на интервале $(-\infty, \frac{\pi}{2}]$.
  Функция убывает на интервале $[\frac{\pi}{2}, +\infty)$.

• Точки экстремума и экстремумы:
  В точке $x = \frac{\pi}{2}$ функция достигает своего максимума. Это точка локального и глобального максимума.
  $x_{max} = \frac{\pi}{2}$, $y_{max} = f(\frac{\pi}{2}) = 1$.
  Точек минимума у функции нет, так как она уходит в $-\infty$ при $x \to \pm\infty$.

• Четность/нечетность: Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), так как ее график не симметричен ни относительно оси $Oy$, ни относительно начала координат. Например, $f(-3) = -9$, а $f(3) = \sin(3) \approx 0.14$, что не удовлетворяет условиям $f(-x) = f(x)$ или $f(-x) = -f(x)$.

• Периодичность: Функция не является периодической.

Ответ: Свойства функции: 1. $D(f) = (-\infty; +\infty)$. 2. $E(f) = (-\infty; 1]$. 3. Непрерывна на $\mathbb{R}$. 4. Нули: $x=0, x=\pi$. 5. $f(x)>0$ при $x \in (0; \pi)$; $f(x)<0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (\pi; +\infty)$. 6. Возрастает на $(-\infty, \frac{\pi}{2}]$, убывает на $[\frac{\pi}{2}, +\infty)$. 7. $x_{max} = \frac{\pi}{2}$, $y_{max} = 1$. Точек минимума нет. 8. Функция общего вида (ни четная, ни нечетная). 9. Непериодическая.

16.66. Дана функция $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} \sin \left(x + \frac{\pi}{2}\right), & \text{если } -\frac{3\pi}{2} \le x \le 0, \\ x + 1, & \text{если } 0 < x < 2, \\ -\sqrt{x - 2} + 3, & \text{если } x \ge 2. \end{cases}$

а) Вычислите: $f(0)$, $f(6)$, $f(-\pi - 2)$;

б) постройте график функции $y = f(x)$;

в) прочитайте график функции $y = f(x)$.

а) Вычислите: f(0), f(6), f(-? - 2);

Для вычисления значений функции в заданных точках необходимо определить, какому из трех интервалов области определения принадлежит аргумент $x$, и использовать соответствующую формулу.

Вычисление $f(0)$:
Аргумент $x=0$ принадлежит первому интервалу $- \frac{3\pi}{2} \le x \le 0$. Следовательно, используем формулу $f(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$. По формуле приведения, $\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos(x)$. Подставляем $x=0$:
$f(0) = \cos(0) = 1$.

Вычисление $f(6)$:
Аргумент $x=6$ принадлежит третьему интервалу $x \ge 2$. Следовательно, используем формулу $f(x) = -\sqrt{x-2} + 3$. Подставляем $x=6$:
$f(6) = -\sqrt{6-2} + 3 = -\sqrt{4} + 3 = -2 + 3 = 1$.

Вычисление $f(-\pi - 2)$:
Область определения функции $D(f) = \left[-\frac{3\pi}{2}, +\infty\right)$. Необходимо проверить, принадлежит ли значение $x = -\pi - 2$ этой области, то есть выполняется ли неравенство $-\pi - 2 \ge -\frac{3\pi}{2}$.
Сравним $-\pi - 2$ и $-\frac{3\pi}{2}$.
$\frac{3\pi}{2} - \pi - 2 \ge 0$
$\frac{\pi}{2} - 2 \ge 0$
$\pi \ge 4$
Так как $\pi \approx 3.14159$, неравенство $\pi \ge 4$ является ложным. Следовательно, точка $x = -\pi - 2$ не входит в область определения функции, и значение $f(-\pi - 2)$ не определено.

Ответ: $f(0)=1$, $f(6)=1$, значение $f(-\pi - 2)$ не определено.

б) постройте график функции y = f(x);

Для построения графика разобьем задачу на три части в соответствии с определением функции.
1. На промежутке $\left[-\frac{3\pi}{2}, 0\right]$ строим график функции $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos(x)$. Это часть косинусоиды. Ключевые точки: $(-3\pi/2, 0)$, $(-\pi, -1)$, $(-\pi/2, 0)$, $(0, 1)$.
2. На промежутке $(0, 2)$ строим график функции $y = x+1$. Это отрезок прямой линии, соединяющий точки $(0, 1)$ и $(2, 3)$.
3. На промежутке $[2, +\infty)$ строим график функции $y = -\sqrt{x-2} + 3$. Это ветвь параболы с вершиной в точке $(2, 3)$, проходящая через точки $(3, 2)$, $(6, 1)$ и $(11, 0)$.
Все части графика соединяются в точках $x=0$ и $x=2$, образуя непрерывную линию.

Ответ: График функции представлен выше.

в) прочитайте график функции y = f(x).

На основе построенного графика и анализа формул перечислим основные свойства функции $y=f(x)$:
1. Область определения: $D(f) = \left[-\frac{3\pi}{2}, +\infty\right)$.
2. Область значений: $E(f) = (-\infty, 3]$.
3. Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения.
4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox): $x = -\frac{3\pi}{2}$, $x = -\frac{\pi}{2}$, $x = 11$.
5. Точка пересечения с осью Oy: $(0, 1)$.
6. Промежутки знакопостоянства:
$f(x) > 0$ при $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, 11\right)$;
$f(x) < 0$ при $x \in \left(-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}\right) \cup (11, +\infty)$.
7. Промежутки монотонности:
Функция возрастает на промежутке $[-\pi, 2]$;
Функция убывает на промежутках $\left[-\frac{3\pi}{2}, -\pi\right]$ и $[2, +\infty)$.
8. Экстремумы функции:
Точка локального минимума: $x_{min} = -\pi$, $y_{min} = f(-\pi) = -1$;
Точка локального максимума: $x_{max} = 2$, $y_{max} = f(2) = 3$.
9. Глобальные экстремумы:
Глобальный максимум: $y_{max} = 3$ достигается в точке $x=2$;
Глобальный минимум отсутствует (функция не ограничена снизу).
10. Четность, нечетность: Функция не является ни четной, ни нечетной, так как ее область определения не симметрична относительно нуля.
11. Периодичность: Функция не является периодической.

Ответ: Свойства функции перечислены выше.

Постройте график функции:

16.67. a) $y = \frac{1}{\sin x}$;

б) $y = \frac{1}{\cos x}$.

a) Построим график функции $y = \frac{1}{\sin x}$. Эта функция также называется косекансом и обозначается $y = \csc x$.

Для построения графика проанализируем свойства функции:

• Область определения: Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $\sin x \neq 0$. Это условие выполняется для всех $x$, кроме $x = \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Прямые $x = \pi k$ являются вертикальными асимптотами графика.
• Область значений: Известно, что для любого $x$ значение синуса находится в пределах $-1 \le \sin x \le 1$. Если $0 < \sin x \le 1$, то $y = \frac{1}{\sin x} \ge 1$. Если $-1 \le \sin x < 0$, то $y = \frac{1}{\sin x} \le -1$. Следовательно, область значений функции: $E(y) = (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.
• Периодичность: Функция $y = \sin x$ является периодической с основным периодом $2\pi$. Следовательно, функция $y = \frac{1}{\sin x}$ также периодическая с периодом $2\pi$. Достаточно построить график на любом промежутке длиной $2\pi$, например на $(0, 2\pi)$, а затем продолжить его на всю числовую ось.
• Четность/нечетность: Проверим значение функции в точке $-x$: $y(-x) = \frac{1}{\sin(-x)} = \frac{1}{-\sin x} = - \frac{1}{\sin x} = -y(x)$. Функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.
• Экстремумы: Точки локального минимума функции $y = \frac{1}{\sin x}$ достигаются при $y=1$. Это происходит, когда $\sin x = 1$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Точки локального максимума достигаются при $y=-1$. Это происходит, когда $\sin x = -1$, то есть при $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$ (или $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$), $k \in \mathbb{Z}$.

Построение графика:

1. На координатной плоскости проведем вертикальные асимптоты $x=0, x=\pi, x=2\pi, x=-\pi, \dots$
2. Вспомогательно можно нарисовать график $y = \sin x$.
3. На интервале $(0, \pi)$, где $\sin x > 0$, график $y = \frac{1}{\sin x}$ будет расположен в верхней полуплоскости. В точке $x=\frac{\pi}{2}$ функция достигает своего минимума $y=1$. При приближении $x$ к $0$ справа и к $\pi$ слева, значения $y$ стремятся к $+\infty$.
4. На интервале $(\pi, 2\pi)$, где $\sin x < 0$, график будет расположен в нижней полуплоскости. В точке $x=\frac{3\pi}{2}$ функция достигает своего максимума $y=-1$. При приближении $x$ к $\pi$ справа и к $2\pi$ слева, значения $y$ стремятся к $-\infty$.
5. Повторим полученные ветви графика с периодом $2\pi$.

График функции $y = \frac{1}{\sin x}$ (косекансоида):

Ответ: График функции $y=\frac{1}{\sin x}$ (косекансоида) построен и представлен выше.

б) Построим график функции $y = \frac{1}{\cos x}$. Эта функция также называется секансом и обозначается $y = \sec x$.

Проанализируем свойства функции по аналогии с предыдущим пунктом:

• Область определения: $\cos x \neq 0$. Это условие выполняется для всех $x$, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Прямые $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ являются вертикальными асимптотами графика.
• Область значений: Аналогично функции косеканса, область значений: $E(y) = (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.
• Периодичность: Функция $y = \cos x$ имеет период $2\pi$, следовательно, и функция $y = \frac{1}{\cos x}$ периодическая с периодом $2\pi$.
• Четность/нечетность: Проверим значение функции в точке $-x$: $y(-x) = \frac{1}{\cos(-x)} = \frac{1}{\cos x} = y(x)$. Функция является четной. Ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).
• Экстремумы: Точки локального минимума ($y=1$) достигаются при $\cos x = 1$, то есть при $x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Точки локального максимума ($y=-1$) достигаются при $\cos x = -1$, то есть при $x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Построение графика:

Заметим, что $\cos x = \sin(x + \frac{\pi}{2})$. Поэтому $y = \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{\sin(x + \frac{\pi}{2})}$. Это означает, что график функции $y=\frac{1}{\cos x}$ можно получить из графика функции $y=\frac{1}{\sin x}$ сдвигом влево вдоль оси ОХ на $\frac{\pi}{2}$.

1. Проведем вертикальные асимптоты $x=\frac{\pi}{2}, x=\frac{3\pi}{2}, x=-\frac{\pi}{2}, \dots$
2. На интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, где $\cos x > 0$, график находится в верхней полуплоскости. В точке $x=0$ функция имеет минимум $y=1$. При приближении $x$ к границам интервала, $y$ стремится к $+\infty$.
3. На интервале $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$, где $\cos x < 0$, график находится в нижней полуплоскости. В точке $x=\pi$ функция имеет максимум $y=-1$. При приближении $x$ к границам интервала, $y$ стремится к $-\infty$.
4. Повторим полученные ветви графика с периодом $2\pi$.

График функции $y = \frac{1}{\cos x}$ (секансоида):

Ответ: График функции $y=\frac{1}{\cos x}$ (секансоида) построен и представлен выше.

16.68. a) $y = \sin (\sin x)$;

б) $y = \sin (\cos x)$;

В) $y = \cos (\cos x)$;

Г) $y = \cos (\sin x)$.

а) $y = \sin(\sin x)$;

Чтобы найти область значений данной функции, необходимо определить, какие значения может принимать $y$. Данная функция является сложной, вида $y = f(g(x))$, где $f(u) = \sin u$ и $g(x) = \sin x$.

1. Сначала найдём область значений внутренней функции $u = \sin x$. Областью значений синуса является отрезок $[-1, 1]$. Таким образом, $u$ может принимать любые значения в диапазоне $-1 \le u \le 1$.

2. Теперь найдём область значений внешней функции $y = \sin u$ при условии, что её аргумент $u$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$.

Функция $y = \sin u$ является возрастающей на отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Поскольку $-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$ и $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, отрезок $[-1, 1]$ полностью содержится в этом промежутке возрастания.

Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке $[-1, 1]$ достигается при $u=-1$, а наибольшее — при $u=1$.

Наименьшее значение: $y_{\text{мин}} = \sin(-1) = -\sin(1)$.

Наибольшее значение: $y_{\text{макс}} = \sin(1)$.

Таким образом, область значений функции $y = \sin(\sin x)$ — это отрезок $[-\sin(1), \sin(1)]$.

Ответ: $[-\sin(1), \sin(1)]$

б) $y = \sin(\cos x)$;

Эта функция также является сложной. Пусть внутренняя функция будет $u = \cos x$.

1. Область значений функции $u = \cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Значит, $-1 \le u \le 1$.

2. Теперь необходимо найти область значений внешней функции $y = \sin u$ для аргумента $u \in [-1, 1]$.

Эта задача полностью аналогична предыдущему пункту. Функция $y = \sin u$ возрастает на отрезке $[-1, 1]$.

Наименьшее значение на этом отрезке равно $\sin(-1) = -\sin(1)$.

Наибольшее значение на этом отрезке равно $\sin(1)$.

Следовательно, область значений функции $y = \sin(\cos x)$ также является отрезком $[-\sin(1), \sin(1)]$.

Ответ: $[-\sin(1), \sin(1)]$

в) $y = \cos(\cos x)$;

Рассмотрим эту сложную функцию. Пусть $u = \cos x$.

1. Область значений внутренней функции $u = \cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$.

2. Теперь найдём область значений внешней функции $y = \cos u$ при $u \in [-1, 1]$.

Функция $y = \cos u$ является чётной, то есть $\cos(-u) = \cos(u)$. На отрезке $[0, \pi]$ функция $\cos u$ убывает. Наш отрезок $u \in [-1, 1]$ симметричен относительно точки $u=0$.

Наибольшее значение функции $y = \cos u$ на отрезке $[-1, 1]$ достигается в точке максимума $u=0$.$y_{\text{макс}} = \cos(0) = 1$.

Наименьшее значение будет достигаться на концах отрезка, то есть в точках $u=-1$ и $u=1$. Так как функция чётная, $\cos(-1) = \cos(1)$. Поскольку $1$ радиан находится в первой четверти ($0 < 1 < \pi/2$), $\cos(1)$ — положительное число, меньшее 1.$y_{\text{мин}} = \cos(1)$.

Таким образом, область значений функции $y = \cos(\cos x)$ — это отрезок $[\cos(1), 1]$.

Ответ: $[\cos(1), 1]$

г) $y = \cos(\sin x)$.

Это также сложная функция. Пусть внутренняя функция $u = \sin x$.

1. Область значений функции $u = \sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$.

2. Теперь найдём область значений внешней функции $y = \cos u$ при $u \in [-1, 1]$.

Эта задача аналогична пункту в). Мы ищем множество значений функции $y = \cos u$ на отрезке $[-1, 1]$.

Наибольшее значение функции $\cos u$ на этом отрезке равно $\cos(0) = 1$.

Наименьшее значение достигается на концах отрезка $u = -1$ и $u = 1$ и равно $\cos(-1) = \cos(1)$.

Следовательно, область значений функции $y = \cos(\sin x)$ — это отрезок $[\cos(1), 1]$.

Ответ: $[\cos(1), 1]$