Страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

16.25. Принадлежит ли графику функции $y = 2 \cos \left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 1$ точка с координатами:

а) $(0; \$\sqrt{3} + 1\$);

б) $(\$\frac{\pi}{6}\$; 1);

в) $(\$\frac{\pi}{2}\$; 2);

г) $(\$\frac{\pi}{6}\$; 3)?

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить ее координаты $(x; y)$ в уравнение функции. Если получится верное равенство, то точка принадлежит графику, в противном случае — не принадлежит.

а) Подставим координаты точки $(0; \sqrt{3} + 1)$ в уравнение функции $y = 2 \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 1$.
$\sqrt{3} + 1 = 2 \cos\left(0 - \frac{\pi}{6}\right) + 1$
$\sqrt{3} + 1 = 2 \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + 1$
Так как косинус является четной функцией, $\cos(-x) = \cos(x)$. Значение $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\sqrt{3} + 1 = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 1$
$\sqrt{3} + 1 = \sqrt{3} + 1$
Равенство верное, значит точка принадлежит графику функции.
Ответ: да.

б) Подставим координаты точки $\left(\frac{\pi}{6}; 1\right)$ в уравнение функции $y = 2 \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 1$.
$1 = 2 \cos\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6}\right) + 1$
$1 = 2 \cos(0) + 1$
Значение $\cos(0) = 1$.
$1 = 2 \cdot 1 + 1$
$1 = 3$
Равенство неверное, значит точка не принадлежит графику функции.
Ответ: нет.

в) Подставим координаты точки $\left(\frac{\pi}{2}; 2\right)$ в уравнение функции $y = 2 \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 1$.
$2 = 2 \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}\right) + 1$
$2 = 2 \cos\left(\frac{3\pi}{6} - \frac{\pi}{6}\right) + 1$
$2 = 2 \cos\left(\frac{2\pi}{6}\right) + 1$
$2 = 2 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + 1$
Значение $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$.
$2 = 2 \cdot \frac{1}{2} + 1$
$2 = 1 + 1$
$2 = 2$
Равенство верное, значит точка принадлежит графику функции.
Ответ: да.

г) Подставим координаты точки $\left(\frac{\pi}{6}; 3\right)$ в уравнение функции $y = 2 \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 1$.
$3 = 2 \cos\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6}\right) + 1$
$3 = 2 \cos(0) + 1$
Значение $\cos(0) = 1$.
$3 = 2 \cdot 1 + 1$
$3 = 3$
Равенство верное, значит точка принадлежит графику функции.
Ответ: да.

16.26. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = \cos x$:

а) на отрезке $\left[ \frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3} \right];$

б) на интервале $\left( -\pi; \frac{\pi}{4} \right);$

в) на луче $\left[ -\frac{\pi}{4}; +\infty \right);$

г) на полуинтервале $\left[ -\frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2} \right).$

а) на отрезке $[\frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3}]$
Функция $y = \cos x$ является убывающей на отрезке $[0; \pi]$. Заданный отрезок $[\frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3}]$ полностью содержится в отрезке $[0; \pi]$, следовательно, на нем функция $y = \cos x$ также монотонно убывает. Для монотонно убывающей функции на отрезке наибольшее значение достигается в его начале, а наименьшее — в конце.
Вычисляем значения на концах отрезка:
Наибольшее значение: $y_{наиб} = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.
Ответ: наименьшее значение $-\frac{1}{2}$, наибольшее значение $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) на интервале $(-\pi; \frac{\pi}{4})$
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения, исследуем поведение функции на данном интервале. Интервал содержит точку $x=0$, в которой функция $y = \cos x$ достигает своего глобального максимума.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = \cos(0) = 1$.
Наименьшее значение: Интервал является открытым. Рассмотрим поведение функции на его границах. При $x$, стремящемся к $-\pi$ справа, значение $\cos x$ стремится к $\cos(-\pi) = -1$. При $x$, стремящемся к $\frac{\pi}{4}$ слева, значение $\cos x$ стремится к $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Поскольку значение $-1$ является точной нижней гранью, но не достигается внутри интервала (так как $x = -\pi$ не принадлежит интервалу), наименьшего значения у функции на данном интервале не существует.
Ответ: наибольшее значение $1$, наименьшего значения не существует.

в) на луче $[-\frac{\pi}{4}; +\infty)$
Функция $y = \cos x$ является периодической, и ее область значений на всей числовой прямой — отрезок $[-1; 1]$. Заданный луч $[-\frac{\pi}{4}; +\infty)$ неограничен справа, а значит, на нем функция примет все свои возможные значения.
Наибольшее значение функции $\cos x$ равно $1$. Оно достигается в точках $x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Например, точка $x=0$ (при $k=0$) принадлежит лучу $[-\frac{\pi}{4}; +\infty)$. Таким образом, $y_{наиб} = 1$.
Наименьшее значение функции $\cos x$ равно $-1$. Оно достигается в точках $x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Например, точка $x=\pi$ (при $k=0$) принадлежит лучу $[-\frac{\pi}{4}; +\infty)$. Таким образом, $y_{наим} = -1$.
Ответ: наименьшее значение $-1$, наибольшее значение $1$.

г) на полуинтервале $[-\frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2})$
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений на полуинтервале нужно проверить значения функции в точках экстремума, попадающих в этот интервал, а также на его концах.
Точки экстремума функции $y = \cos x$: $x = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
В интервал $[-\frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2})$ попадают точки $x=0$ и $x=\pi$.
Значения функции в этих точках:
$y(0) = \cos(0) = 1$
$y(\pi) = \cos(\pi) = -1$
Значение на левом (включенном) конце интервала:
$y(-\frac{\pi}{3}) = \cos(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$
На правом (исключенном) конце интервала значение не достигается, но мы можем найти предел:
$\lim_{x \to \frac{3\pi}{2}^-} \cos x = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$
Сравнивая полученные значения ($1, -1, \frac{1}{2}$), заключаем, что наибольшее значение равно $1$, а наименьшее равно $-1$. Оба значения достигаются внутри интервала.
Ответ: наименьшее значение $-1$, наибольшее значение $1$.

Исследуйте функцию на чётность:

16.27. а) $f(x) = \sin x \cos x;$

б) $f(x) = \frac{\cos x^3}{4 - x^2};$

в) $f(x) = \frac{\cos x^3}{x(25 - x^2)};$

г) $f(x) = (4 + \cos x)(\sin^6 x - 1).$

а) $f(x) = \sin x \cos x$

Для исследования функции на чётность необходимо проверить два условия: симметричность области определения и поведение функции при замене $x$ на $-x$.

1. Область определения $D(f)$. Функции $\sin x$ и $\cos x$ определены для всех действительных чисел. Следовательно, область определения их произведения — вся числовая прямая, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.

2. Найдём значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = \sin(-x) \cos(-x)$.
Используем свойства чётности тригонометрических функций: $\sin(-x) = -\sin x$ (нечётная функция) и $\cos(-x) = \cos x$ (чётная функция).
Подставим их в выражение:
$f(-x) = (-\sin x)(\cos x) = -(\sin x \cos x) = -f(x)$.

Поскольку выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, данная функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

б) $f(x) = \frac{\cos x^3}{4 - x^2}$

1. Область определения $D(f)$. Функция определена, если её знаменатель не равен нулю: $4 - x^2 \neq 0$, что равносильно $x^2 \neq 4$, то есть $x \neq \pm 2$.
Таким образом, $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.

2. Найдём значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = \frac{\cos((-x)^3)}{4 - (-x)^2}$.
Упростим числитель и знаменатель:
В числителе: $\cos((-x)^3) = \cos(-x^3)$. Так как функция косинус является чётной ($\cos(-a) = \cos a$), получаем $\cos(-x^3) = \cos x^3$.
В знаменателе: $4 - (-x)^2 = 4 - x^2$.
Следовательно, $f(-x) = \frac{\cos x^3}{4 - x^2} = f(x)$.

Поскольку выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, данная функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

в) $f(x) = \frac{\cos x^3}{x(25 - x^2)}$

1. Область определения $D(f)$. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x(25 - x^2) \neq 0$. Это условие выполняется, если $x \neq 0$ и $25 - x^2 \neq 0$. Из второго неравенства следует $x^2 \neq 25$, то есть $x \neq \pm 5$.
Таким образом, $D(f) = (-\infty; -5) \cup (-5; 0) \cup (0; 5) \cup (5; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.

2. Найдём значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = \frac{\cos((-x)^3)}{(-x)(25 - (-x)^2)}$.
Упростим числитель и знаменатель:
Числитель, как и в предыдущем пункте, $\cos((-x)^3) = \cos x^3$.
Знаменатель: $(-x)(25 - (-x)^2) = -x(25 - x^2)$.
Подставив упрощённые части, получаем:
$f(-x) = \frac{\cos x^3}{-x(25 - x^2)} = -\frac{\cos x^3}{x(25 - x^2)} = -f(x)$.

Поскольку выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, данная функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

г) $f(x) = (4 + \cos x)(\sin^6 x - 1)$

1. Область определения $D(f)$. Функции $\cos x$ и $\sin x$ определены для всех действительных чисел. Следовательно, область определения $f(x)$ — вся числовая прямая, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.

2. Найдём значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = (4 + \cos(-x))(\sin^6(-x) - 1)$.
Используем свойства чётности тригонометрических функций:
Первый множитель: $4 + \cos(-x) = 4 + \cos x$.
Второй множитель: $\sin^6(-x) - 1 = (\sin(-x))^6 - 1 = (-\sin x)^6 - 1 = \sin^6 x - 1$.
Таким образом, $f(-x) = (4 + \cos x)(\sin^6 x - 1) = f(x)$.

Поскольку выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, данная функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

16.28. a) $f(x) = x^2 \cos x;$

Б) $f(x) = x^5 \cos 3x;$

В) $f(x) = \frac{\cos 5x + 1}{|x|};$

Г) $f(x) = x^{11} \cos x + \sin x.$

Для исследования функции на четность необходимо проверить выполнение одного из условий для любого $x$ из области определения функции:

• $f(-x) = f(x)$ — функция четная.
• $f(-x) = -f(x)$ — функция нечетная.

Если ни одно из условий не выполняется, функция не является ни четной, ни нечетной. Также важно, чтобы область определения функции была симметрична относительно нуля.

а) $f(x) = x^2 \cos x$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^2 \cos(-x)$

Так как $(-x)^2 = x^2$ (степенная функция с четным показателем) и $\cos(-x) = \cos x$ (функция косинус является четной), то получаем:

$f(-x) = x^2 \cos x$

Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: функция четная.

б) $f(x) = x^5 \cos 3x$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^5 \cos(3(-x)) = (-x)^5 \cos(-3x)$

Так как $(-x)^5 = -x^5$ (степенная функция с нечетным показателем) и $\cos(-3x) = \cos(3x)$ (функция косинус является четной), то получаем:

$f(-x) = (-x^5) \cdot \cos(3x) = -x^5 \cos 3x$

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: функция нечетная.

в) $f(x) = \frac{\cos 5x + 1}{|x|}$

Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$, так как знаменатель не может быть равен нулю. $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{\cos(5(-x)) + 1}{|-x|}$

Так как $\cos(-5x) = \cos(5x)$ (функция косинус четная) и $|-x| = |x|$ (функция модуль четная), то получаем:

$f(-x) = \frac{\cos 5x + 1}{|x|}$

Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: функция четная.

г) $f(x) = x^{11} \cos x + \sin x$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^{11} \cos(-x) + \sin(-x)$

Используем свойства функций: $(-x)^{11} = -x^{11}$ (нечетная степень), $\cos(-x) = \cos x$ (четная функция) и $\sin(-x) = -\sin x$ (нечетная функция).

$f(-x) = (-x^{11}) \cdot \cos x + (-\sin x) = -x^{11} \cos x - \sin x$

Вынесем знак минус за скобки:

$f(-x) = -(x^{11} \cos x + \sin x)$

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: функция нечетная.

16.29. Найдите область значений заданной функции на заданном промежутке:

а) $y = \sin x, x \in \left[\frac{\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}\right];$

б) $y = \cos x, x \in (1; +\infty);$

в) $y = \sin x, x \in (-1; 6);$

г) $y = \cos x, x \in [1.2; 7.5].$

а) Для функции $y = \sin x$ на промежутке $x \in [\frac{\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}]$. Длина этого промежутка составляет $\frac{7\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = 2\pi$, что равно периоду функции синус. Это означает, что на данном отрезке функция проходит полный цикл своих значений. Максимум функции, равный $1$, достигается при $x = \frac{\pi}{2}$, а минимум, равный $-1$, — при $x = \frac{3\pi}{2}$. Обе эти точки лежат внутри отрезка $[\frac{\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}]$. Поскольку функция непрерывна, она принимает все значения между $-1$ и $1$.
Ответ: $[-1; 1]$.

б) Для функции $y = \cos x$ на промежутке $x \in (1; +\infty)$. Функция косинус является периодической, и ее значения всегда находятся в пределах от $-1$ до $1$. Поскольку заданный промежуток для $x$ уходит в бесконечность, функция $\cos x$ примет все свои значения из отрезка $[-1; 1]$ бесконечное число раз. Например, точки $x = \pi \approx 3,14$ (где $\cos x = -1$) и $x = 2\pi \approx 6,28$ (где $\cos x = 1$) принадлежат промежутку $(1; +\infty)$. В силу непрерывности функции, её область значений на этом промежутке будет полной.
Ответ: $[-1; 1]$.

в) Для функции $y = \sin x$ на промежутке $x \in (-1; 6)$. Чтобы найти область значений, нужно определить, достигаются ли на этом интервале глобальный максимум и минимум функции. Максимальное значение $\sin x = 1$ достигается в точке $x = \frac{\pi}{2} \approx 1,57$, которая лежит в интервале $(-1; 6)$. Минимальное значение $\sin x = -1$ достигается в точке $x = \frac{3\pi}{2} \approx 4,71$, которая также лежит в интервале $(-1; 6)$. Так как функция непрерывна и принимает на данном интервале свои наибольшее и наименьшее возможные значения, её область значений — это весь отрезок от $-1$ до $1$.
Ответ: $[-1; 1]$.

г) Для функции $y = \cos x$ на промежутке $x \in [1,2; 7,5]$. Данный промежуток является замкнутым отрезком. Найдём, достигаются ли на нём экстремальные значения функции. Максимальное значение $\cos x = 1$ достигается в точке $x = 2\pi \approx 6,28$. Это значение находится внутри отрезка $[1,2; 7,5]$. Минимальное значение $\cos x = -1$ достигается в точке $x = \pi \approx 3,14$. Это значение также находится внутри отрезка $[1,2; 7,5]$. Поскольку функция непрерывна и на заданном отрезке достигает как своего глобального максимума, так и глобального минимума, её область значений покрывает весь отрезок между этими значениями.
Ответ: $[-1; 1]$.

16.30. Докажите тождество:

a) $\sin^2(x - 8\pi) = 1 - \cos^2(16\pi - x)$;

б) $\cos^2(4\pi + x) = 1 - \sin^2(22\pi - x)$.

а) Для доказательства тождества $sin^2(x - 8\pi) = 1 - cos^2(16\pi - x)$ преобразуем его левую и правую части.

Сначала преобразуем левую часть. Функция синус является периодической с периодом $2\pi$, поэтому $sin(\alpha + 2\pi n) = sin(\alpha)$ для любого целого $n$. В нашем случае $8\pi = 4 \cdot 2\pi$, поэтому:

$sin(x - 8\pi) = sin(x)$

Следовательно, левая часть тождества равна:

$sin^2(x - 8\pi) = (sin(x))^2 = sin^2(x)$

Теперь преобразуем правую часть. Функция косинус также имеет период $2\pi$, и кроме того, она является четной, то есть $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$. Поскольку $16\pi = 8 \cdot 2\pi$:

$cos(16\pi - x) = cos(-x) = cos(x)$

Следовательно, правая часть тождества равна:

$1 - cos^2(16\pi - x) = 1 - (cos(x))^2 = 1 - cos^2(x)$

В результате преобразований мы пришли к равенству $sin^2(x) = 1 - cos^2(x)$. Это равенство следует из основного тригонометрического тождества $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$. Таким образом, исходное тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Для доказательства тождества $cos^2(4\pi + x) = 1 - sin^2(22\pi - x)$ также преобразуем его левую и правую части.

Сначала преобразуем левую часть. Используем периодичность функции косинус ($T = 2\pi$). Так как $4\pi = 2 \cdot 2\pi$:

$cos(4\pi + x) = cos(x)$

Следовательно, левая часть тождества равна:

$cos^2(4\pi + x) = (cos(x))^2 = cos^2(x)$

Теперь преобразуем правую часть. Функция синус имеет период $2\pi$ и является нечетной, то есть $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$. Поскольку $22\pi = 11 \cdot 2\pi$:

$sin(22\pi - x) = sin(-x) = -sin(x)$

Следовательно, правая часть тождества равна:

$1 - sin^2(22\pi - x) = 1 - (-sin(x))^2 = 1 - sin^2(x)$

В результате мы получили равенство $cos^2(x) = 1 - sin^2(x)$. Это равенство также следует из основного тригонометрического тождества $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$. Таким образом, исходное тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

16.31. Найдите основной период функции:

а) $y = \sin 2x;$

б) $y = \cos 3x;$

в) $y = \sin \frac{x}{2};$

г) $y = \cos \frac{3x}{4}.$

Основной (наименьший положительный) период тригонометрических функций вида $y = \sin(kx+b)$ и $y = \cos(kx+b)$ находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ — основной период исходной функции. Основной период для функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$ равен $2\pi$. Таким образом, для нахождения периода данных функций будем использовать формулу $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

а) Для функции $y = \sin 2x$ коэффициент при аргументе $x$ равен $k=2$.

Следовательно, основной период функции равен:

$T = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$

Ответ: $\pi$

б) Для функции $y = \cos 3x$ коэффициент при аргументе $x$ равен $k=3$.

Следовательно, основной период функции равен:

$T = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3}$

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$

в) Для функции $y = \sin \frac{x}{2}$, которую можно представить в виде $y = \sin(\frac{1}{2}x)$, коэффициент при аргументе $x$ равен $k=\frac{1}{2}$.

Следовательно, основной период функции равен:

$T = \frac{2\pi}{|\frac{1}{2}|} = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$

Ответ: $4\pi$

г) Для функции $y = \cos \frac{3x}{4}$, которую можно представить в виде $y = \cos(\frac{3}{4}x)$, коэффициент при аргументе $x$ равен $k=\frac{3}{4}$.

Следовательно, основной период функции равен:

$T = \frac{2\pi}{|\frac{3}{4}|} = 2\pi \cdot \frac{4}{3} = \frac{8\pi}{3}$

Ответ: $\frac{8\pi}{3}$