Номер 16.28, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.28. a) $f(x) = x^2 \cos x;$

Б) $f(x) = x^5 \cos 3x;$

В) $f(x) = \frac{\cos 5x + 1}{|x|};$

Г) $f(x) = x^{11} \cos x + \sin x.$

Для исследования функции на четность необходимо проверить выполнение одного из условий для любого $x$ из области определения функции:

• $f(-x) = f(x)$ — функция четная.
• $f(-x) = -f(x)$ — функция нечетная.

Если ни одно из условий не выполняется, функция не является ни четной, ни нечетной. Также важно, чтобы область определения функции была симметрична относительно нуля.

а) $f(x) = x^2 \cos x$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^2 \cos(-x)$

Так как $(-x)^2 = x^2$ (степенная функция с четным показателем) и $\cos(-x) = \cos x$ (функция косинус является четной), то получаем:

$f(-x) = x^2 \cos x$

Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: функция четная.

б) $f(x) = x^5 \cos 3x$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^5 \cos(3(-x)) = (-x)^5 \cos(-3x)$

Так как $(-x)^5 = -x^5$ (степенная функция с нечетным показателем) и $\cos(-3x) = \cos(3x)$ (функция косинус является четной), то получаем:

$f(-x) = (-x^5) \cdot \cos(3x) = -x^5 \cos 3x$

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: функция нечетная.

в) $f(x) = \frac{\cos 5x + 1}{|x|}$

Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$, так как знаменатель не может быть равен нулю. $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{\cos(5(-x)) + 1}{|-x|}$

Так как $\cos(-5x) = \cos(5x)$ (функция косинус четная) и $|-x| = |x|$ (функция модуль четная), то получаем:

$f(-x) = \frac{\cos 5x + 1}{|x|}$

Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: функция четная.

г) $f(x) = x^{11} \cos x + \sin x$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^{11} \cos(-x) + \sin(-x)$

Используем свойства функций: $(-x)^{11} = -x^{11}$ (нечетная степень), $\cos(-x) = \cos x$ (четная функция) и $\sin(-x) = -\sin x$ (нечетная функция).

$f(-x) = (-x^{11}) \cdot \cos x + (-\sin x) = -x^{11} \cos x - \sin x$

Вынесем знак минус за скобки:

$f(-x) = -(x^{11} \cos x + \sin x)$

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: функция нечетная.