Номер 16.21, страница 104, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.21. a) $\sin \left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\pi-3 x$;

б) $\sin x-\sqrt{x-\pi}=0$;

в) $\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\left(x-\frac{\pi}{3}\right)^{2}+1$;

г) $-\sin x=\sqrt{x}$.

а) $\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = \pi - 3x$

Данное уравнение является трансцендентным. Решим его, анализируя свойства функций в левой и правой частях уравнения.

Пусть $y_1 = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ и $y_2 = \pi - 3x$.

Область значений функции синуса — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, $-1 \le \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \le 1$.

Для того чтобы уравнение имело решение, правая часть также должна принимать значения из этого диапазона:

$-1 \le \pi - 3x \le 1$

Решим это двойное неравенство:

1) $\pi - 3x \le 1 \implies \pi - 1 \le 3x \implies x \ge \frac{\pi - 1}{3}$.

2) $\pi - 3x \ge -1 \implies \pi + 1 \ge 3x \implies x \le \frac{\pi + 1}{3}$.

Таким образом, возможные решения должны лежать в интервале $\left[\frac{\pi - 1}{3}, \frac{\pi + 1}{3}\right]$.

Рассмотрим функцию $f(x) = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) + 3x - \pi$. Нам нужно найти корни уравнения $f(x) = 0$.

Найдем производную этой функции: $f'(x) = \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) + 3$.

Поскольку $-1 \le \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \le 1$, то $f'(x) \ge -1 + 3 = 2$. Так как производная $f'(x)$ всегда положительна, функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой прямой. Это означает, что уравнение $f(x) = 0$ может иметь не более одного корня.

Попробуем найти корень подбором. Проверим значение $x = \frac{\pi}{3}$.

Левая часть: $\sin\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3}\right) = \sin(0) = 0$.

Правая часть: $\pi - 3 \cdot \frac{\pi}{3} = \pi - \pi = 0$.

Левая и правая части равны, следовательно, $x = \frac{\pi}{3}$ является корнем уравнения.

Так как мы доказали, что корень может быть только один, это и есть единственное решение.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3}$.

б) $\sin x - \sqrt{x - \pi} = 0$

Перепишем уравнение в виде $\sin x = \sqrt{x - \pi}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x - \pi \ge 0 \implies x \ge \pi$.

Проанализируем значения левой и правой частей уравнения.

Правая часть, $\sqrt{x - \pi}$, всегда неотрицательна ($\ge 0$). Значит, левая часть также должна быть неотрицательной: $\sin x \ge 0$.

Кроме того, максимальное значение синуса равно 1, поэтому $\sqrt{x - \pi} \le 1$.

Возведя в квадрат обе части неравенства $\sqrt{x - \pi} \le 1$, получаем $x - \pi \le 1$, откуда $x \le \pi + 1$.

Итак, все решения должны находиться в отрезке $[\pi, \pi + 1]$.

Проверим значение $x = \pi$:

Левая часть: $\sin(\pi) = 0$.

Правая часть: $\sqrt{\pi - \pi} = \sqrt{0} = 0$.

Так как $0=0$, $x=\pi$ является решением.

Теперь рассмотрим интервал $(\pi, \pi + 1]$. Для любого $x$ из этого интервала угол $x$ находится в третьей четверти (поскольку $\pi < x < 3\pi/2$), где значение синуса отрицательно: $\sin x < 0$.

В то же время, правая часть уравнения, $\sqrt{x - \pi}$, для $x > \pi$ строго положительна.

Отрицательное число не может быть равно положительному, поэтому на интервале $(\pi, \pi + 1]$ решений нет.

Следовательно, единственным решением является $x = \pi$.

Ответ: $x = \pi$.

в) $\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \left(x - \frac{\pi}{3}\right)^2 + 1$

Решим это уравнение методом оценки.

Рассмотрим левую часть уравнения: $y_1 = \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$.

Область значений функции синуса — это отрезок $[-1, 1]$. Таким образом, $y_1 \le 1$.

Рассмотрим правую часть уравнения: $y_2 = \left(x - \frac{\pi}{3}\right)^2 + 1$.

Выражение $\left(x - \frac{\pi}{3}\right)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно: $\left(x - \frac{\pi}{3}\right)^2 \ge 0$.

Следовательно, для правой части имеем: $y_2 = \left(x - \frac{\pi}{3}\right)^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$.

Мы получили систему оценок:

$\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) \le 1$

$\left(x - \frac{\pi}{3}\right)^2 + 1 \ge 1$

Равенство возможно только в том случае, когда обе части одновременно равны 1. Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 1 \\ \left(x - \frac{\pi}{3}\right)^2 + 1 = 1 \end{cases}$

Решим второе уравнение, так как оно проще:

$\left(x - \frac{\pi}{3}\right)^2 = 0$

$x - \frac{\pi}{3} = 0$

$x = \frac{\pi}{3}$

Теперь подставим найденное значение $x$ в первое уравнение, чтобы проверить, выполняется ли оно:

$\sin\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{2\pi + \pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

Первое уравнение выполняется. Следовательно, $x = \frac{\pi}{3}$ является единственным решением исходного уравнения.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3}$.

г) $-\sin x = \sqrt{x}$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется наличием квадратного корня: $x \ge 0$.

Проверим $x=0$.

Левая часть: $-\sin(0) = 0$.

Правая часть: $\sqrt{0} = 0$.

Так как $0=0$, $x=0$ является решением.

Рассмотрим случай $x > 0$. Перепишем уравнение как $\sin x = -\sqrt{x}$.

Для $x > 0$, правая часть $-\sqrt{x}$ строго отрицательна. Следовательно, левая часть $\sin x$ тоже должна быть строго отрицательной.

Область значений функции синуса — это отрезок $[-1, 1]$, поэтому $\sin x \ge -1$.

Из уравнения $\sin x = -\sqrt{x}$ следует, что $-\sqrt{x} \ge -1$, что эквивалентно $\sqrt{x} \le 1$.

Возведя в квадрат, получаем $x \le 1$.

Таким образом, если существуют другие решения, кроме $x=0$, они должны находиться в интервале $(0, 1]$.

Однако для любого $x \in (0, 1]$, мы имеем $x \in (0, \pi)$, а на этом интервале $\sin x > 0$.

Мы пришли к противоречию, так как для решения необходимо $\sin x < 0$, но на возможном интервале $(0, 1]$ имеем $\sin x > 0$.

Следовательно, на интервале $(0, 1]$ решений нет.

Для $x > 1$, имеем $\sqrt{x} > 1$, а значит $-\sqrt{x} < -1$. В то же время, $\sin x \ge -1$. Так как $-\sqrt{x} < -1 \le \sin x$, равенство невозможно.

Таким образом, единственным решением уравнения является $x=0$.

Ответ: $x = 0$.