Номер 16.19, страница 104, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите графически уравнение:

16.19. а) $\sin x = x + \pi;$

б) $\sin x = 2x;$

в) $\sin x + x = 0;$

г) $\sin x = 2x - 2\pi.$

Для графического решения уравнения вида $f(x) = g(x)$ необходимо построить графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ в одной системе координат. Абсциссы точек пересечения этих графиков являются решениями (корнями) исходного уравнения.

а) $ \sin x = x + \pi $

Рассмотрим две функции: $y = \sin x$ и $y = x + \pi$.
График функции $y = \sin x$ — это синусоида, значения которой лежат в пределах от -1 до 1.
График функции $y = x + \pi$ — это прямая линия с угловым коэффициентом 1, проходящая через точки $(-\pi; 0)$ и $(0; \pi)$.
Построим эти графики в одной системе координат. Для того чтобы графики пересеклись, значения функции $y = x + \pi$ также должны находиться в диапазоне $[-1, 1]$, так как значения синуса ограничены этим диапазоном.
Решим неравенство: $-1 \le x + \pi \le 1$, что равносильно $-1 - \pi \le x \le 1 - \pi$.
Подставим в исходное уравнение значение $x = -\pi$:
Левая часть: $\sin(-\pi) = 0$.
Правая часть: $-\pi + \pi = 0$.
Поскольку $0 = 0$, то $x = -\pi$ является корнем уравнения.
Чтобы определить, есть ли другие корни, рассмотрим функцию $h(x) = \sin x - x - \pi$. Её производная $h'(x) = \cos x - 1$.
Так как $\cos x \le 1$ для любого $x$, то $h'(x) = \cos x - 1 \le 0$. Это означает, что функция $h(x)$ является невозрастающей на всей числовой оси. Строго убывающей она является везде, кроме точек $x = 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, функция $h(x)$ может пересекать ось абсцисс (то есть равняться нулю) не более одного раза. Мы уже нашли один корень $x = -\pi$. Значит, это единственное решение.
Графически это означает, что прямая $y = x + \pi$ пересекает синусоиду $y = \sin x$ только в одной точке с абсциссой $x = -\pi$.
Ответ: $x = -\pi$.

б) $ \sin x = 2x $

Рассмотрим функции $y = \sin x$ и $y = 2x$.
График $y = \sin x$ — синусоида.
График $y = 2x$ — прямая, проходящая через начало координат с угловым коэффициентом 2.
Очевидно, что $x=0$ является решением, так как $\sin(0) = 0$ и $2 \cdot 0 = 0$. Точка $(0;0)$ является точкой пересечения.
Сравним поведение функций вблизи нуля. Производная $(\sin x)' = \cos x$, в точке $x=0$ она равна $\cos(0) = 1$. Производная $(2x)' = 2$.
Поскольку в точке $x=0$ угловой коэффициент касательной к синусоиде (равный 1) меньше углового коэффициента прямой $y=2x$ (равного 2), для малых $x > 0$ будет выполняться неравенство $2x > \sin x$.
Более строго, рассмотрим функцию $h(x) = \sin x - 2x$. Её производная $h'(x) = \cos x - 2$.
Поскольку максимальное значение $\cos x$ равно 1, производная $h'(x)$ всегда отрицательна ($h'(x) \le 1 - 2 = -1$).
Это означает, что функция $h(x)$ является строго убывающей на всей числовой прямой.
Строго монотонная функция может иметь не более одного корня. Так как мы нашли корень $x=0$, он является единственным.
Ответ: $x = 0$.

в) $ \sin x + x = 0 $

Перепишем уравнение в виде $\sin x = -x$.
Рассмотрим функции $y = \sin x$ и $y = -x$.
График $y = \sin x$ — синусоида.
График $y = -x$ — прямая, проходящая через начало координат с угловым коэффициентом -1 (биссектриса второго и четвертого координатных углов).
Очевидно, что $x=0$ является решением: $\sin(0) = 0$ и $-0 = 0$. Точка $(0;0)$ — точка пересечения.
Рассмотрим функцию $h(x) = \sin x + x$. Её производная $h'(x) = \cos x + 1$.
Поскольку $\cos x \ge -1$, производная $h'(x) \ge 0$ для всех $x$. Она равна нулю только в точках $x = \pi + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Это означает, что функция $h(x)$ является невозрастающей на всей числовой оси. Так как она не является константой ни на каком интервале, она может иметь только один корень.
Мы уже нашли корень $x=0$, следовательно, он единственный.
Ответ: $x = 0$.

г) $ \sin x = 2x - 2\pi $

Рассмотрим функции $y = \sin x$ и $y = 2x - 2\pi$.
График $y = \sin x$ — синусоида.
График $y = 2x - 2\pi$ — прямая с угловым коэффициентом 2. Найдем точку пересечения этой прямой с осью абсцисс: при $y=0$, $2x - 2\pi = 0 \implies x = \pi$. Прямая проходит через точку $(\pi, 0)$.
Проверим, является ли $x = \pi$ решением уравнения.
Левая часть: $\sin(\pi) = 0$.
Правая часть: $2\pi - 2\pi = 0$.
Так как $0 = 0$, $x = \pi$ является корнем. Точка $(\pi; 0)$ является точкой пересечения графиков.
Рассмотрим функцию $h(x) = \sin x - (2x - 2\pi) = \sin x - 2x + 2\pi$. Её производная $h'(x) = \cos x - 2$.
Как и в пункте б), производная $h'(x)$ всегда отрицательна, так как $\cos x \le 1$.
Следовательно, функция $h(x)$ является строго убывающей, а значит, может иметь не более одного корня.
Поскольку мы нашли корень $x=\pi$, он является единственным.
Ответ: $x = \pi$.