Номер 14.19, страница 97, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

14.19. a) Дано: $\cos t = -\frac{5}{13}$, $8,5\pi < t < 9\pi$. Вычислите: $\sin (-t)$.

б) Дано: $\sin t = \frac{4}{5}$, $\frac{9\pi}{2} < t < 5\pi$. Вычислите: $\cos (-t) + \sin (-t)$.

а)

Требуется вычислить $ \sin(-t) $. Воспользуемся свойством нечетности синуса: $ \sin(-t) = -\sin t $. Таким образом, задача сводится к нахождению $ \sin t $.

Мы знаем значение $ \cos t = -\frac{5}{13} $. Применим основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $.

Выразим из него $ \sin^2 t $: $ \sin^2 t = 1 - \cos^2 t $ $ \sin^2 t = 1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169-25}{169} = \frac{144}{169} $

Отсюда $ \sin t = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13} $.

Чтобы выбрать правильный знак, определим, в какой четверти находится угол $ t $. По условию, $ 8,5\pi < t < 9\pi $. Это можно переписать как $ 8\pi + \frac{\pi}{2} < t < 8\pi + \pi $. Отбрасывая полные обороты ($ 8\pi = 4 \cdot 2\pi $), получаем, что угол $ t $ находится в том же положении, что и угол в интервале $ (\frac{\pi}{2}, \pi) $. Это вторая координатная четверть.

Во второй четверти синус положителен, значит, $ \sin t = \frac{12}{13} $.

Теперь можем вычислить искомое значение: $ \sin(-t) = -\sin t = -\frac{12}{13} $.

Ответ: $ -\frac{12}{13} $

б)

Требуется вычислить выражение $ \cos(-t) + \sin(-t) $. Используем свойства четности косинуса и нечетности синуса: $ \cos(-t) = \cos t $ $ \sin(-t) = -\sin t $

Таким образом, выражение преобразуется к виду: $ \cos t - \sin t $.

Нам дано значение $ \sin t = \frac{4}{5} $. Найдем $ \cos t $, используя основное тригонометрическое тождество: $ \cos^2 t = 1 - \sin^2 t $ $ \cos^2 t = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25-16}{25} = \frac{9}{25} $

Отсюда $ \cos t = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5} $.

Определим знак косинуса. По условию, $ \frac{9\pi}{2} < t < 5\pi $. Перепишем интервал: $ 4,5\pi < t < 5\pi $, что равносильно $ 4\pi + \frac{\pi}{2} < t < 4\pi + \pi $. Отбросив полные обороты ($ 4\pi = 2 \cdot 2\pi $), получаем, что угол $ t $ находится в том же положении, что и угол в интервале $ (\frac{\pi}{2}, \pi) $. Это вторая координатная четверть.

Во второй четверти косинус отрицателен, следовательно, $ \cos t = -\frac{3}{5} $.

Теперь подставим найденные значения в преобразованное выражение: $ \cos t - \sin t = -\frac{3}{5} - \frac{4}{5} = -\frac{3+4}{5} = -\frac{7}{5} $.

Ответ: $ -\frac{7}{5} $