Номер 14.18, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

14.18. а) Дано: $\sin (4\pi + t) = \frac{3}{5}$, $0 < t < \frac{\pi}{2}$. Вычислите: $\operatorname{tg} (\pi - t)$.

б) Дано: $\cos (2\pi + t) = \frac{12}{13}$, $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$. Вычислите: $\operatorname{ctg} (\pi - t)$.

а)

По условию дано, что $\sin(4\pi + t) = \frac{3}{5}$ и $0 < t < \frac{\pi}{2}$.

1. Упростим данное выражение, используя свойство периодичности синуса. Период синуса равен $2\pi$, поэтому $\sin(x + 2k\pi) = \sin(x)$ для любого целого $k$.

$\sin(4\pi + t) = \sin(2 \cdot 2\pi + t) = \sin(t)$.

Следовательно, мы имеем $\sin(t) = \frac{3}{5}$.

2. Упростим выражение, которое нужно вычислить: $\text{tg}(\pi - t)$. Используем формулу приведения для тангенса:

$\text{tg}(\pi - t) = -\text{tg}(t)$.

3. Теперь нам нужно найти значение $\text{tg}(t)$. Для этого сначала найдем $\cos(t)$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(t) + \cos^2(t) = 1$.

$\cos^2(t) = 1 - \sin^2(t) = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.

Отсюда $\cos(t) = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5}$.

По условию, угол $t$ находится в первой четверти ($0 < t < \frac{\pi}{2}$), где косинус положителен. Значит, $\cos(t) = \frac{4}{5}$.

4. Теперь вычислим тангенс:

$\text{tg}(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$.

5. Наконец, найдем искомое значение:

$\text{tg}(\pi - t) = -\text{tg}(t) = -\frac{3}{4}$.

Ответ: $-\frac{3}{4}$.

б)

По условию дано, что $\cos(2\pi + t) = \frac{12}{13}$ и $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$.

1. Упростим данное выражение, используя свойство периодичности косинуса. Период косинуса равен $2\pi$, поэтому $\cos(x + 2k\pi) = \cos(x)$ для любого целого $k$.

$\cos(2\pi + t) = \cos(t)$.

Следовательно, мы имеем $\cos(t) = \frac{12}{13}$.

2. Упростим выражение, которое нужно вычислить: $\text{ctg}(\pi - t)$. Используем формулу приведения для котангенса:

$\text{ctg}(\pi - t) = -\text{ctg}(t)$.

3. Теперь нам нужно найти значение $\text{ctg}(t)$. Для этого сначала найдем $\sin(t)$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(t) + \cos^2(t) = 1$.

$\sin^2(t) = 1 - \cos^2(t) = 1 - (\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}$.

Отсюда $\sin(t) = \pm\sqrt{\frac{25}{169}} = \pm\frac{5}{13}$.

По условию, угол $t$ находится в четвертой четверти ($\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$), где синус отрицателен. Значит, $\sin(t) = -\frac{5}{13}$.

4. Теперь вычислим котангенс:

$\text{ctg}(t) = \frac{\cos(t)}{\sin(t)} = \frac{12/13}{-5/13} = -\frac{12}{5}$.

5. Наконец, найдем искомое значение:

$\text{ctg}(\pi - t) = -\text{ctg}(t) = -(-\frac{12}{5}) = \frac{12}{5}$.

Ответ: $\frac{12}{5}$.