Номер 14.10, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

14.10. a) $(3 \sin t + 4 \cos t)^2 + (4 \sin t - 3 \cos t)^2$;

б) $(\text{tg} t + \text{ctg} t)^2 - (\text{tg} t - \text{ctg} t)^2$;

в) $\sin t \cos t (\text{tg} t + \text{ctg} t)$;

г) $\sin^2 t \cos^2 t (\text{tg}^2 t + \text{ctg}^2 t + 2)$.

а) $(3 \sin t + 4 \cos t)^2 + (4 \sin t - 3 \cos t)^2$

Для упрощения выражения раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

$(3 \sin t + 4 \cos t)^2 = (3 \sin t)^2 + 2 \cdot 3 \sin t \cdot 4 \cos t + (4 \cos t)^2 = 9 \sin^2 t + 24 \sin t \cos t + 16 \cos^2 t$.

$(4 \sin t - 3 \cos t)^2 = (4 \sin t)^2 - 2 \cdot 4 \sin t \cdot 3 \cos t + (3 \cos t)^2 = 16 \sin^2 t - 24 \sin t \cos t + 9 \cos^2 t$.

Теперь сложим полученные выражения:

$(9 \sin^2 t + 24 \sin t \cos t + 16 \cos^2 t) + (16 \sin^2 t - 24 \sin t \cos t + 9 \cos^2 t)$.

Слагаемые $24 \sin t \cos t$ и $-24 \sin t \cos t$ взаимно уничтожаются. Сгруппируем оставшиеся члены:

$(9 \sin^2 t + 16 \sin^2 t) + (16 \cos^2 t + 9 \cos^2 t) = 25 \sin^2 t + 25 \cos^2 t$.

Вынесем общий множитель 25 за скобки и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$:

$25(\sin^2 t + \cos^2 t) = 25 \cdot 1 = 25$.

Ответ: 25

б) $(\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t)^2 - (\operatorname{tg} t - \operatorname{ctg} t)^2$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = \operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t$ и $b = \operatorname{tg} t - \operatorname{ctg} t$.

$a - b = (\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t) - (\operatorname{tg} t - \operatorname{ctg} t) = \operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t - \operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t = 2 \operatorname{ctg} t$.

$a + b = (\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t) + (\operatorname{tg} t - \operatorname{ctg} t) = 2 \operatorname{tg} t$.

Перемножим полученные выражения:

$(2 \operatorname{ctg} t)(2 \operatorname{tg} t) = 4 \operatorname{tg} t \operatorname{ctg} t$.

Используя тождество $\operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t = 1$, получаем:

$4 \cdot 1 = 4$.

Ответ: 4

в) $\sin t \cos t (\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t)$

Представим тангенс и котангенс через синус и косинус: $\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}$, $\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$.

$\sin t \cos t \left(\frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t}\right)$.

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю $\sin t \cos t$:

$\frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\sin t \cos t}$.

По основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, поэтому выражение в скобках равно $\frac{1}{\sin t \cos t}$.

Подставим это обратно в исходное выражение:

$\sin t \cos t \cdot \frac{1}{\sin t \cos t} = 1$.

Ответ: 1

г) $\sin^2 t \cos^2 t (\operatorname{tg}^2 t + \operatorname{ctg}^2 t + 2)$

Рассмотрим выражение в скобках: $\operatorname{tg}^2 t + \operatorname{ctg}^2 t + 2$.

Зная, что $2 = 2 \cdot 1 = 2 \cdot \operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t$, можно переписать выражение как:

$\operatorname{tg}^2 t + 2 \operatorname{tg} t \operatorname{ctg} t + \operatorname{ctg}^2 t$.

Это выражение является полным квадратом суммы: $(\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t)^2$.

Из предыдущего пункта (в) мы знаем, что $\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t = \frac{1}{\sin t \cos t}$.

Следовательно, $(\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t)^2 = \left(\frac{1}{\sin t \cos t}\right)^2 = \frac{1}{\sin^2 t \cos^2 t}$.

Подставим это в исходное выражение:

$\sin^2 t \cos^2 t \cdot \frac{1}{\sin^2 t \cos^2 t} = 1$.

Ответ: 1