Номер 13.53, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

13.53. a) $1 < \sin 1 + \cos^2 1 < 1,25$;

б) $2 < 2 \sin^2 1,2 + \cos 1,2 < \frac{17}{8}$.

Требуется доказать двойное неравенство $1 < \sin 1 + \cos^2 1 < 1,25$.

Для начала преобразуем выражение в центре, используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2 1 = 1 - \sin^2 1$:

$\sin 1 + \cos^2 1 = \sin 1 + (1 - \sin^2 1) = 1 + \sin 1 - \sin^2 1$.

Теперь докажем каждую часть двойного неравенства по отдельности.

1. Доказательство левой части: $1 < \sin 1 + \cos^2 1$.

Подставим преобразованное выражение: $1 < 1 + \sin 1 - \sin^2 1$.

Вычитая 1 из обеих частей, получаем: $0 < \sin 1 - \sin^2 1$.

Вынесем $\sin 1$ за скобки: $0 < \sin 1 (1 - \sin 1)$.

Аргумент тригонометрических функций равен 1 радиану. Так как $\pi \approx 3,14159$, то $\pi/2 \approx 1,57$. Угол в 1 радиан находится в первой четверти ($0 < 1 < \pi/2$), где синус положителен. Также, поскольку $1 < \pi/2$, то $\sin 1 < \sin(\pi/2) = 1$. Таким образом, мы имеем $0 < \sin 1 < 1$.

Из этого следует, что оба множителя в выражении $\sin 1 (1 - \sin 1)$ положительны: $\sin 1 > 0$ и $(1 - \sin 1) > 0$. Произведение двух положительных чисел также положительно, поэтому неравенство $0 < \sin 1 (1 - \sin 1)$ является верным.

2. Доказательство правой части: $\sin 1 + \cos^2 1 < 1,25$.

Подставим преобразованное выражение: $1 + \sin 1 - \sin^2 1 < 1,25$.

Перенесем 1 вправо: $\sin 1 - \sin^2 1 < 0,25$.

Перенесем все члены в одну сторону и умножим на -1, изменив знак неравенства: $\sin^2 1 - \sin 1 + 0,25 > 0$.

Левая часть неравенства представляет собой полный квадрат: $(\sin 1 - 0,5)^2 > 0$ или $(\sin 1 - 1/2)^2 > 0$.

Квадрат действительного числа всегда неотрицателен. Неравенство будет строгим (больше нуля), если основание степени не равно нулю, то есть $\sin 1 - 1/2 \neq 0$, или $\sin 1 \neq 1/2$.

Значение синуса равно $1/2$ для угла $\pi/6$. $\pi/6 \approx 3,14/6 \approx 0,523$ радиана. Поскольку $1 \neq \pi/6$, то и $\sin 1 \neq \sin(\pi/6) = 1/2$.

Следовательно, неравенство $(\sin 1 - 1/2)^2 > 0$ является верным.

Поскольку обе части исходного двойного неравенства доказаны, утверждение верно.

Ответ: Доказано.

Требуется доказать двойное неравенство $2 < 2\sin^2 1,2 + \cos 1,2 < \frac{17}{8}$.

Преобразуем выражение в центре, используя тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:

$2\sin^2 1,2 + \cos 1,2 = 2(1 - \cos^2 1,2) + \cos 1,2 = 2 - 2\cos^2 1,2 + \cos 1,2$.

Рассмотрим каждую часть неравенства.

1. Доказательство левой части: $2 < 2\sin^2 1,2 + \cos 1,2$.

Подставим преобразованное выражение: $2 < 2 - 2\cos^2 1,2 + \cos 1,2$.

Вычитая 2 из обеих частей, получаем: $0 < -2\cos^2 1,2 + \cos 1,2$.

Вынесем $\cos 1,2$ за скобки: $0 < \cos 1,2 (1 - 2\cos 1,2)$.

Оценим значение 1,2 радиана. Мы знаем, что $\pi/3 \approx 1,047$ и $\pi/2 \approx 1,57$. Таким образом, $\pi/3 < 1,2 < \pi/2$.

В интервале $(\pi/3, \pi/2)$ функция косинуса является убывающей. Следовательно, $\cos(\pi/2) < \cos 1,2 < \cos(\pi/3)$, что дает нам $0 < \cos 1,2 < 1/2$.

Из оценки $0 < \cos 1,2$ следует, что первый множитель $\cos 1,2$ положителен. Из оценки $\cos 1,2 < 1/2$ следует, что $2\cos 1,2 < 1$, а значит $1 - 2\cos 1,2 > 0$. Второй множитель также положителен.

Произведение двух положительных чисел положительно, поэтому неравенство $0 < \cos 1,2 (1 - 2\cos 1,2)$ верно.

2. Доказательство правой части: $2\sin^2 1,2 + \cos 1,2 < \frac{17}{8}$.

Подставим преобразованное выражение: $2 - 2\cos^2 1,2 + \cos 1,2 < \frac{17}{8}$.

Перенесем все члены в одну сторону: $0 < 2\cos^2 1,2 - \cos 1,2 + \frac{17}{8} - 2$.

$0 < 2\cos^2 1,2 - \cos 1,2 + \frac{1}{8}$.

Обозначим $y = \cos 1,2$ и рассмотрим правую часть как квадратичное выражение: $2y^2 - y + \frac{1}{8}$. Выделим полный квадрат:

$2(y^2 - \frac{1}{2}y) + \frac{1}{8} = 2(y^2 - 2 \cdot y \cdot \frac{1}{4} + (\frac{1}{4})^2) - 2(\frac{1}{4})^2 + \frac{1}{8} = 2(y - \frac{1}{4})^2 - \frac{2}{16} + \frac{1}{8} = 2(y - \frac{1}{4})^2$.

Таким образом, неравенство принимает вид $0 < 2(\cos 1,2 - \frac{1}{4})^2$.

Это неравенство верно, если $\cos 1,2 - \frac{1}{4} \neq 0$, то есть $\cos 1,2 \neq \frac{1}{4}$.

Для доказательства этого воспользуемся оценкой на основе ряда Тейлора для косинуса: $\cos x > 1 - \frac{x^2}{2}$ для $x \neq 0$.

При $x = 1,2$: $\cos 1,2 > 1 - \frac{(1,2)^2}{2} = 1 - \frac{1,44}{2} = 1 - 0,72 = 0,28$.

Поскольку $1/4 = 0,25$, а мы получили, что $\cos 1,2 > 0,28$, то очевидно, что $\cos 1,2 > 1/4$.

Следовательно, $\cos 1,2 \neq 1/4$, и неравенство $0 < 2(\cos 1,2 - \frac{1}{4})^2$ является строгим и верным.

Поскольку обе части исходного двойного неравенства доказаны, утверждение верно.

Ответ: Доказано.