Номер 13.47, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

13.47. a) $ \cos t > -\frac{\sqrt{3}}{2}; $

б) $ \cos t < -\frac{1}{2}; $

в) $ \cos t < -\frac{\sqrt{3}}{2}; $

г) $ \cos t > -\frac{1}{2}. $

а) $\cos t > -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Для решения тригонометрического неравенства воспользуемся единичной окружностью. Косинус угла $t$ соответствует абсциссе (координате x) точки на единичной окружности.

1. Найдём значения $t$, для которых выполняется равенство $\cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Это табличные значения. Уравнение $\cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ имеет две серии решений, которые можно найти с помощью арккосинуса:

$t = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$, то $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Таким образом, решения уравнения: $t = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Отметим на единичной окружности точки, соответствующие углам $\frac{5\pi}{6}$ и $-\frac{5\pi}{6}$ (что то же самое, что и $\frac{7\pi}{6}$ в пределах одного оборота). Проведём через эти точки вертикальную прямую $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. Нам нужно найти такие значения $t$, для которых $\cos t > -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это означает, что абсцисса точки на окружности должна быть больше, чем $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. На окружности этому условию удовлетворяют все точки, лежащие правее прямой $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

4. Эта область представляет собой большую дугу окружности. Если двигаться против часовой стрелки, эта дуга начинается в точке, соответствующей углу $-\frac{5\pi}{6}$, и заканчивается в точке, соответствующей углу $\frac{5\pi}{6}$.

5. Учитывая периодичность функции косинуса (период $2\pi$), записываем общее решение в виде двойного неравенства:

$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t \in (-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos t < -\frac{1}{2}$

1. Найдём значения $t$, для которых $\cos t = -\frac{1}{2}$.

Решения уравнения: $t = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n = \pm (\pi - \frac{\pi}{3}) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

На одном обороте $[0, 2\pi)$ это углы $t_1 = \frac{2\pi}{3}$ и $t_2 = \frac{4\pi}{3}$.

2. Отметим на единичной окружности точки, соответствующие углам $\frac{2\pi}{3}$ и $\frac{4\pi}{3}$. Проведём вертикальную прямую $x = -\frac{1}{2}$.

3. Нам нужно найти значения $t$, для которых $\cos t < -\frac{1}{2}$, то есть абсцисса точки на окружности должна быть меньше $-\frac{1}{2}$. Этому условию соответствуют точки на дуге окружности, расположенной левее прямой $x = -\frac{1}{2}$.

4. Двигаясь против часовой стрелки, видим, что искомая дуга начинается в точке $\frac{2\pi}{3}$ и заканчивается в точке $\frac{4\pi}{3}$.

5. Запишем общее решение, добавив период $2\pi n$:

$\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t \in (\frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \frac{4\pi}{3} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

в) $\cos t < -\frac{\sqrt{3}}{2}$

1. Как и в пункте а), решим уравнение $\cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Решениями являются $t = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ и $t = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Отметим на единичной окружности точки, соответствующие углам $\frac{5\pi}{6}$ и $\frac{7\pi}{6}$, и проведем вертикальную прямую $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. Нам нужно найти $t$, для которых $\cos t < -\frac{\sqrt{3}}{2}$, то есть абсцисса точки на окружности должна быть меньше $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это дуга, расположенная левее прямой $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

4. Двигаясь против часовой стрелки, видим, что нужная дуга начинается в точке $\frac{5\pi}{6}$ и заканчивается в точке $\frac{7\pi}{6}$.

5. Запишем общее решение:

$\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t \in (\frac{5\pi}{6} + 2\pi n; \frac{7\pi}{6} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

г) $\cos t > \frac{1}{2}$

1. Решим уравнение $\cos t = \frac{1}{2}$.

Решениями являются: $t = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Отметим на единичной окружности точки, соответствующие углам $\frac{\pi}{3}$ и $-\frac{\pi}{3}$, и проведем вертикальную прямую $x = \frac{1}{2}$.

3. Нам нужно найти $t$, для которых $\cos t > \frac{1}{2}$, то есть абсцисса точки на окружности должна быть больше $\frac{1}{2}$. Этому условию соответствует дуга, расположенная правее прямой $x = \frac{1}{2}$.

4. Двигаясь против часовой стрелки, видим, что нужная дуга начинается в точке $-\frac{\pi}{3}$ и заканчивается в точке $\frac{\pi}{3}$.

5. Запишем общее решение:

$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t \in (-\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{\pi}{3} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.