Номер 13.49, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите систему неравенств:

13.49. а) ${ \begin{cases} \sin t > 0, \\ \sin t < \frac{1}{2}; \end{cases} }$

б) ${ \begin{cases} \cos t < 0, \\ \cos t > -\frac{1}{2}; \end{cases} }$

в) ${ \begin{cases} \sin t > -\frac{\sqrt{2}}{2}, \\ \sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}; \end{cases} }$

г) ${ \begin{cases} \cos t > \frac{1}{2}, \\ \cos t < \frac{\sqrt{2}}{2}. \end{cases} }$

а)

Требуется решить систему неравенств $ \begin{cases} \sin t > 0 \\ \sin t < \frac{1}{2} \end{cases} $. Эту систему можно записать в виде двойного неравенства: $0 < \sin t < \frac{1}{2}$.

Для решения воспользуемся единичной тригонометрической окружностью. Значение $ \sin t $ — это ордината (координата y) точки на окружности, соответствующей углу $t$. Нам нужно найти все такие углы $t$, для которых ордината соответствующей точки на окружности находится в интервале $(0, \frac{1}{2})$.

1. Найдём точки на окружности, где $y=0$. Это соответствует углам $t=0$ и $t=\pi$.
2. Найдём точки на окружности, где $y=\frac{1}{2}$. Это соответствует углам $t=\frac{\pi}{6}$ и $t=\frac{5\pi}{6}$.

Таким образом, условию $0 < y < \frac{1}{2}$ удовлетворяют точки, расположенные на двух дугах окружности:
- в I четверти: от точки, соответствующей углу $0$, до точки, соответствующей углу $\frac{\pi}{6}$. Это даёт интервал $0 < t < \frac{\pi}{6}$.
- во II четверти: от точки, соответствующей углу $\frac{5\pi}{6}$, до точки, соответствующей углу $\pi$. Это даёт интервал $\frac{5\pi}{6} < t < \pi$.

Поскольку функция синуса периодична с периодом $2\pi$, общее решение является объединением этих интервалов с добавлением $2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $ t \in (2\pi k, \frac{\pi}{6} + 2\pi k) \cup (\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $.

б)

Требуется решить систему неравенств $ \begin{cases} \cos t < 0 \\ \cos t > -\frac{1}{2} \end{cases} $. Эту систему можно записать в виде двойного неравенства: $-\frac{1}{2} < \cos t < 0$.

Для решения воспользуемся единичной тригонометрической окружностью. Значение $ \cos t $ — это абсцисса (координата x) точки на окружности, соответствующей углу $t$. Нам нужно найти все такие углы $t$, для которых абсцисса соответствующей точки на окружности находится в интервале $(-\frac{1}{2}, 0)$.

1. Найдём точки на окружности, где $x=0$. Это соответствует углам $t=\frac{\pi}{2}$ и $t=\frac{3\pi}{2}$.
2. Найдём точки на окружности, где $x=-\frac{1}{2}$. Это соответствует углам $t=\frac{2\pi}{3}$ и $t=\frac{4\pi}{3}$.

Таким образом, условию $-\frac{1}{2} < x < 0$ удовлетворяют точки, расположенные на двух дугах окружности:
- во II четверти: от точки, соответствующей углу $\frac{\pi}{2}$, до точки, соответствующей углу $\frac{2\pi}{3}$. Это даёт интервал $\frac{\pi}{2} < t < \frac{2\pi}{3}$.
- в III четверти: от точки, соответствующей углу $\frac{4\pi}{3}$, до точки, соответствующей углу $\frac{3\pi}{2}$. Это даёт интервал $\frac{4\pi}{3} < t < \frac{3\pi}{2}$.

Поскольку функция косинуса периодична с периодом $2\pi$, общее решение является объединением этих интервалов с добавлением $2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $ t \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{2\pi}{3} + 2\pi k) \cup (\frac{4\pi}{3} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $.

в)

Требуется решить систему неравенств $ \begin{cases} \sin t > -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin t < \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} $. Эту систему можно записать в виде двойного неравенства: $-\frac{\sqrt{2}}{2} < \sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}$.

На единичной окружности нам нужно найти углы $t$, для которых ордината $y = \sin t$ лежит в интервале $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

1. Найдём углы, для которых $\sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это $t = -\frac{\pi}{4}$ и $t = \frac{5\pi}{4}$.
2. Найдём углы, для которых $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это $t = \frac{\pi}{3}$ и $t = \frac{2\pi}{3}$.

Условию $-\frac{\sqrt{2}}{2} < \sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}$ удовлетворяют точки, лежащие на двух дугах окружности:
- Первая дуга (в IV и I четвертях) начинается от угла $-\frac{\pi}{4}$ и идёт до угла $\frac{\pi}{3}$. Это даёт интервал $-\frac{\pi}{4} < t < \frac{\pi}{3}$.
- Вторая дуга (во II и III четвертях) начинается от угла $\frac{2\pi}{3}$ и идёт до угла $\frac{5\pi}{4}$. Это даёт интервал $\frac{2\pi}{3} < t < \frac{5\pi}{4}$.

Добавляя период $2\pi k$, получаем общее решение.

Ответ: $ t \in (-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k) \cup (\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \frac{5\pi}{4} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $.

г)

Требуется решить систему неравенств $ \begin{cases} \cos t > \frac{1}{2} \\ \cos t < \frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases} $. Эту систему можно записать в виде двойного неравенства: $\frac{1}{2} < \cos t < \frac{\sqrt{2}}{2}$.

На единичной окружности нам нужно найти углы $t$, для которых абсцисса $x = \cos t$ лежит в интервале $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

1. Найдём углы, для которых $\cos t = \frac{1}{2}$. Это $t = \frac{\pi}{3}$ и $t = -\frac{\pi}{3}$.
2. Найдём углы, для которых $\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это $t = \frac{\pi}{4}$ и $t = -\frac{\pi}{4}$.

Условию $\frac{1}{2} < \cos t < \frac{\sqrt{2}}{2}$ удовлетворяют точки, лежащие на двух дугах окружности:
- в I четверти: от угла $\frac{\pi}{4}$ до угла $\frac{\pi}{3}$. Это даёт интервал $\frac{\pi}{4} < t < \frac{\pi}{3}$.
- в IV четверти: от угла $-\frac{\pi}{3}$ до угла $-\frac{\pi}{4}$. Это даёт интервал $-\frac{\pi}{3} < t < -\frac{\pi}{4}$.

Добавляя период $2\pi k$, получаем общее решение.

Ответ: $ t \in (-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, -\frac{\pi}{4} + 2\pi k) \cup (\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $.