Номер 13.51, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

13.51. Решите неравенство:

a) $ \sin t \cdot \cos t > 0; $

б) $ \sin t \cdot \operatorname{tg} t \leq 0; $

в) $ \operatorname{ctg} t \cdot \cos t < 0; $

г) $ \operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t \geq 0. $

а)Исходное неравенство: $\sin t \cdot \cos t > 0$.
Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2t) = 2 \sin t \cos t$. Отсюда следует, что $\sin t \cos t = \frac{1}{2} \sin(2t)$.
Подставив это в неравенство, получим:$\frac{1}{2} \sin(2t) > 0$, что равносильно $\sin(2t) > 0$.
Функция синус положительна, когда её аргумент находится в первой или второй координатной четверти, то есть в интервале $(0, \pi)$ с учётом периодичности.$2\pi k < 2t < \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Чтобы найти $t$, разделим все части двойного неравенства на 2:$\pi k < t < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Эти интервалы соответствуют первой и третьей координатным четвертям, где $\sin t$ и $\cos t$ имеют одинаковые знаки, и их произведение положительно.
Ответ: $t \in (\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

б)Исходное неравенство: $\sin t \cdot \operatorname{tg} t \le 0$.
Заменим тангенс через отношение синуса к косинусу: $\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}$. Неравенство примет вид:$\sin t \cdot \frac{\sin t}{\cos t} \le 0 \implies \frac{\sin^2 t}{\cos t} \le 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) этого выражения: $\cos t \neq 0$, то есть $t \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Дробь меньше или равна нулю, если:1. Числитель равен нулю: $\sin^2 t = 0 \implies \sin t = 0$. Это происходит при $t = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Эти значения удовлетворяют ОДЗ, так как для них $\cos t = \pm 1 \neq 0$. Значит, $t = \pi n$ — это решения.2. Числитель положителен, а знаменатель отрицателен: $\sin^2 t > 0$ и $\cos t < 0$. Условие $\sin^2 t > 0$ выполняется, когда $\sin t \neq 0$, то есть $t \neq \pi n$. Условие $\cos t < 0$ выполняется во второй и третьей четвертях: $t \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$.
Объединим решения. Множество решений из пункта 2 — это интервалы $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$. Множество решений из пункта 1 — это точки $t = \pi n$.Точки вида $t = \pi + 2\pi k$ (нечетные кратные $\pi$) уже входят в интервал $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$.Точки вида $t = 2\pi k$ (четные кратные $\pi$) в этот интервал не входят, но являются решениями.Таким образом, общее решение — это объединение интервалов и множества точек вида $2\pi k$.
Ответ: $t \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k) \cup \{2\pi k\}$, $k \in \mathbb{Z}$.

в)Исходное неравенство: $\operatorname{ctg} t \cdot \cos t < 0$.
Заменим котангенс через отношение косинуса к синусу: $\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$. Неравенство примет вид:$\frac{\cos t}{\sin t} \cdot \cos t < 0 \implies \frac{\cos^2 t}{\sin t} < 0$.
ОДЗ: $\sin t \neq 0$, то есть $t \neq \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Чтобы дробь была строго отрицательной, её числитель должен быть строго положительным, а знаменатель — строго отрицательным (так как числитель $\cos^2 t$ не может быть отрицательным).1. $\cos^2 t > 0 \implies \cos t \neq 0 \implies t \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.2. $\sin t < 0$. Это выполняется в третьей и четвертой четвертях: $t \in (\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.
Теперь учтём все ограничения на полученный интервал. Ограничение $t \neq \pi k$ уже выполнено, так как концы интервала не включены. Ограничение $t \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ требует исключить из нашего интервала точку $t = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$.Исключение этой точки разбивает интервал на два: $(\pi + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n)$ и $(\frac{3\pi}{2} + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n)$.
Ответ: $t \in (\pi + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k) \cup (\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

г)Исходное неравенство: $\operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t \ge 0$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) выражения в левой части.1. Функция $\operatorname{tg} t$ определена, если $\cos t \neq 0$, то есть $t \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.2. Функция $\operatorname{ctg} t$ определена, если $\sin t \neq 0$, то есть $t \neq \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Объединив эти условия, получаем, что $t$ не может быть кратным $\frac{\pi}{2}$. Это можно записать как $t \neq \frac{\pi m}{2}$ для любого целого $m$.
На всей области допустимых значений справедливо тождество $\operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t = 1$.
Таким образом, исходное неравенство превращается в $1 \ge 0$.
Это неравенство верно всегда. Следовательно, решением исходного неравенства являются все значения $t$, принадлежащие области допустимых значений.
Ответ: $t \neq \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.