Номер 13.46, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

13.46. a) $\sin t < -\frac{1}{2};$

б) $\sin t > -\frac{\sqrt{2}}{2};$

B) $\sin t > -\frac{1}{2};$

г) $\sin t < -\frac{\sqrt{2}}{2}.$

а) $ \sin t < -\frac{1}{2} $

Для решения неравенства сначала найдем значения $ t $, для которых $ \sin t = -\frac{1}{2} $. На единичной окружности это точки, у которых ордината (координата y) равна $ -\frac{1}{2} $.

Такие точки соответствуют углам $ t_1 = -\frac{\pi}{6} $ и $ t_2 = -\frac{5\pi}{6} $ на промежутке $ [-\pi, \pi] $.

Неравенству $ \sin t < -\frac{1}{2} $ удовлетворяют все точки на единичной окружности, которые лежат ниже прямой $ y = -\frac{1}{2} $. Это дуга, расположенная между точками $ -\frac{5\pi}{6} $ и $ -\frac{\pi}{6} $ (при движении от меньшего угла к большему).

Таким образом, решение на одном интервале: $ -\frac{5\pi}{6} < t < -\frac{\pi}{6} $.

Поскольку функция синус периодична с периодом $ 2\pi $, общее решение неравенства записывается как:

$ -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < t < -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < t < -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б) $ \sin t > -\frac{\sqrt{2}}{2} $

Сначала решим уравнение $ \sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Точки на единичной окружности с ординатой $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $ соответствуют углам $ t_1 = -\frac{\pi}{4} $ и $ t_2 = \pi - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{5\pi}{4} $.

Неравенству $ \sin t > -\frac{\sqrt{2}}{2} $ соответствуют точки единичной окружности, лежащие выше прямой $ y = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Это большая дуга окружности, заключенная между точками $ -\frac{\pi}{4} $ и $ \frac{5\pi}{4} $ (при движении против часовой стрелки).

Следовательно, решение на одном периоде: $ -\frac{\pi}{4} < t < \frac{5\pi}{4} $.

Учитывая периодичность синуса, общее решение имеет вид:

$ -\frac{\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ -\frac{\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

в) $ \sin t > -\frac{1}{2} $

Корни уравнения $ \sin t = -\frac{1}{2} $, как было найдено в пункте а), это $ t_1 = -\frac{\pi}{6} $ и $ t_2 = \pi - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{7\pi}{6} $.

Неравенству $ \sin t > -\frac{1}{2} $ соответствуют точки на единичной окружности, ординаты которых больше $ -\frac{1}{2} $. Эти точки лежат выше прямой $ y = -\frac{1}{2} $.

На единичной окружности это большая дуга между точками $ -\frac{\pi}{6} $ и $ \frac{7\pi}{6} $ (при движении против часовой стрелки).

Таким образом, решение на одном периоде: $ -\frac{\pi}{6} < t < \frac{7\pi}{6} $.

Общее решение с учетом периодичности $ 2\pi $:

$ -\frac{\pi}{6} + 2\pi k < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ -\frac{\pi}{6} + 2\pi k < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

г) $ \sin t < -\frac{\sqrt{2}}{2} $

Корни уравнения $ \sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2} $, как было найдено в пункте б), это $ t_1 = \frac{5\pi}{4} $ и $ t_2 = \frac{7\pi}{4} $ (или $ -\frac{\pi}{4} $).

Неравенству $ \sin t < -\frac{\sqrt{2}}{2} $ соответствуют точки на единичной окружности, ординаты которых меньше $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Эти точки лежат ниже прямой $ y = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

На единичной окружности это дуга, заключенная между точками $ \frac{5\pi}{4} $ и $ \frac{7\pi}{4} $ (при движении против часовой стрелки).

Решение на одном периоде: $ \frac{5\pi}{4} < t < \frac{7\pi}{4} $.

Общее решение с учетом периодичности:

$ \frac{5\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{7\pi}{4} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ \frac{5\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{7\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.