Номер 13.40, страница 92, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

$13.40.$

a) $1$, $sin 1$, $cos 1$, $tg 1$;

б) $2$, $sin 2$, $cos 2$, $ctg 2$.

а) Расположим в порядке возрастания числа: $1, \sin 1, \cos 1, \tan 1$.

Сначала определим, в какой четверти находится угол в 1 радиан. Мы знаем, что $\pi \approx 3.14159$. Тогда $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ и $\frac{\pi}{4} \approx 0.785$.

Поскольку $0 < 1 < \frac{\pi}{2}$, угол в 1 радиан расположен в первой координатной четверти. В этой четверти значения синуса, косинуса и тангенса положительны.

1. Сравним $\tan 1$ с 1.
Известно, что $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$. Функция $y = \tan x$ является возрастающей на интервале $(0; \frac{\pi}{2})$. Так как $1 > \frac{\pi}{4}$, то $\tan 1 > \tan(\frac{\pi}{4})$, следовательно, $\tan 1 > 1$.

2. Сравним $\sin 1$ с 1.
Для любого действительного числа $x \neq 0$ выполняется неравенство $|\sin x| < |x|$. Для $x=1$ получаем $\sin 1 < 1$. Также известно, что максимальное значение синуса равно 1, которое достигается при $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$. Так как $1 \neq \frac{\pi}{2}$, то $\sin 1 < 1$.

3. Сравним $\sin 1$ и $\cos 1$.
На интервале $(0; \frac{\pi}{2})$ равенство $\sin x = \cos x$ достигается при $x = \frac{\pi}{4}$. На интервале $(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2})$ функция синуса больше функции косинуса, т.е. $\sin x > \cos x$. Поскольку $1 > \frac{\pi}{4}$, то $\sin 1 > \cos 1$.

4. Сравним $\cos 1$ с $\sin 1$ и 1.
Так как $1$ радиан находится в первой четверти, $\cos 1 > 0$. Из предыдущих пунктов мы уже знаем, что $\cos 1 < \sin 1$ и $\sin 1 < 1$.

Объединяя полученные неравенства, мы имеем: $\cos 1 < \sin 1$ и $\sin 1 < 1$ и $1 < \tan 1$.
Таким образом, окончательный порядок чисел в порядке возрастания следующий: $\cos 1 < \sin 1 < 1 < \tan 1$.

Ответ: $\cos 1 < \sin 1 < 1 < \tan 1$.

б) Расположим в порядке возрастания числа: $2, \sin 2, \cos 2, \cot 2$.

Определим, в какой четверти находится угол в 2 радиана. Мы знаем, что $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ и $\pi \approx 3.14$.

Поскольку $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$, угол в 2 радиана расположен во второй координатной четверти.

Определим знаки тригонометрических функций для этого угла. Синус во второй четверти положителен, поэтому $\sin 2 > 0$. Косинус отрицателен: $\cos 2 < 0$. Котангенс, как отношение косинуса к синусу, также отрицателен: $\cot 2 = \frac{\cos 2}{\sin 2} < 0$. Число 2 является положительным. Таким образом, у нас есть два отрицательных числа ($\cos 2$ и $\cot 2$) и два положительных числа ($\sin 2$ и 2). Любое отрицательное число меньше любого положительного.

1. Сравним отрицательные числа: $\cos 2$ и $\cot 2$.
$\cot 2 = \frac{\cos 2}{\sin 2}$. Во второй четверти $0 < \sin 2 < 1$. Если $0 < a < 1$, то $\frac{1}{a} > 1$. Значит, $\frac{1}{\sin 2} > 1$.
Умножим обе части неравенства $\frac{1}{\sin 2} > 1$ на отрицательное число $\cos 2$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:$\cos 2 \cdot \frac{1}{\sin 2} < \cos 2 \cdot 1$, что дает $\frac{\cos 2}{\sin 2} < \cos 2$, то есть $\cot 2 < \cos 2$.

2. Сравним положительные числа: $\sin 2$ и 2.
Область значений функции синус — отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, $\sin 2 \le 1$. Так как $2 > 1$, очевидно, что $\sin 2 < 2$.

Теперь мы можем расположить все числа в порядке возрастания. Сначала идут отрицательные числа ($\cot 2 < \cos 2$), а затем положительные ($\sin 2 < 2$).

Окончательный порядок: $\cot 2 < \cos 2 < \sin 2 < 2$.

Ответ: $\cot 2 < \cos 2 < \sin 2 < 2$.