Номер 13.33, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите неравенство (относительно переменной $x$):

13.33. a) $ \cos 2 \cdot (2x - 1) < 0; $

б) $ \cos 3 \cdot \cos 5 \cdot (x^2 - 4) < 0. $

а)

В данном неравенстве $\cos 2 \cdot (2x - 1) < 0$ множитель $\cos 2$ является постоянным числом (константой). Чтобы решить неравенство, необходимо определить знак этой константы. Угол $2$ здесь задан в радианах.

Оценим значение угла, используя приближенное значение $\pi \approx 3,14159$. Тогда $\frac{\pi}{2} \approx 1,5708$ и $\pi \approx 3,14159$.

Так как $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$, угол в $2$ радиана находится во второй координатной четверти. В этой четверти функция косинуса принимает отрицательные значения, следовательно, $\cos 2 < 0$.

Поскольку мы умножаем отрицательное число ($\cos 2$) на выражение $(2x - 1)$ и по условию произведение должно быть меньше нуля (отрицательным), то выражение $(2x - 1)$ должно быть положительным.

Таким образом, исходное неравенство равносильно следующему простому линейному неравенству:

$2x - 1 > 0$

Решим его:

$2x > 1$

$x > \frac{1}{2}$

Решением является открытый луч от $\frac{1}{2}$ до $+\infty$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{2}; +\infty)$.

б)

В неравенстве $\cos 3 \cdot \cos 5 \cdot (x^2 - 4) < 0$ произведение $\cos 3 \cdot \cos 5$ является постоянным коэффициентом. Определим знак этого коэффициента. Углы $3$ и $5$ заданы в радианах.

1. Определим знак $\cos 3$.

Используя значения $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$ и $\pi \approx 3,14$, можно заключить, что $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$. Угол в $3$ радиана расположен во второй координатной четверти, где косинус отрицателен. Следовательно, $\cos 3 < 0$.

2. Определим знак $\cos 5$.

Используя значения $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$ и $2\pi \approx 6,28$, можно заключить, что $\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi$. Угол в $5$ радиан расположен в четвертой координатной четверти, где косинус положителен. Следовательно, $\cos 5 > 0$.

3. Определим знак коэффициента $\cos 3 \cdot \cos 5$.

Произведение отрицательного числа ($\cos 3$) и положительного числа ($\cos 5$) является отрицательным числом. Таким образом, $\cos 3 \cdot \cos 5 < 0$.

Так как коэффициент $\cos 3 \cdot \cos 5$ отрицателен, то для выполнения исходного неравенства $(\text{отрицательное число}) \cdot (x^2 - 4) < 0$ необходимо, чтобы второй множитель $(x^2 - 4)$ был положительным.

Решим квадратичное неравенство:

$x^2 - 4 > 0$

Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов:

$(x - 2)(x + 2) > 0$

Корни уравнения $(x-2)(x+2)=0$ равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Графиком функции $y=x^2-4$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства — это объединение двух интервалов: $x < -2$ и $x > 2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.