Номер 13.30, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Определите знак выражения:

13.30. a) $\cos \frac{5\pi}{9} - \tg \frac{25\pi}{18}$;

б) $\tg 1 - \cos 2$;

в) $\sin \frac{7\pi}{10} - \ctg \frac{3\pi}{5}$;

г) $\sin 2 - \ctg 5,5$.

а) Для того чтобы определить знак выражения $ \cos \frac{5\pi}{9} - \text{tg} \frac{25\pi}{18} $, определим знак каждого слагаемого. Угол $ \frac{5\pi}{9} $ находится в интервале $ (\frac{\pi}{2}, \pi) $, так как $ \frac{\pi}{2} = \frac{4.5\pi}{9} $, а $ \pi = \frac{9\pi}{9} $. Это вторая координатная четверть, где косинус отрицателен, следовательно $ \cos \frac{5\pi}{9} < 0 $. Угол $ \frac{25\pi}{18} $ можно представить как $ \pi + \frac{7\pi}{18} $. Это третья координатная четверть, где тангенс положителен, следовательно $ \text{tg} \frac{25\pi}{18} > 0 $. Таким образом, мы вычитаем из отрицательного числа положительное, и результат будет отрицательным: $ (\text{отрицательное}) - (\text{положительное}) < 0 $.
Ответ: минус.

б) Для выражения $ \text{tg} 1 - \cos 2 $ углы даны в радианах. Используем приближения $ \pi \approx 3.14 $, $ \frac{\pi}{2} \approx 1.57 $. Угол $ 1 $ радиан, так как $ 0 < 1 < 1.57 $, находится в первой четверти, где тангенс положителен: $ \text{tg} 1 > 0 $. Угол $ 2 $ радиана, так как $ 1.57 < 2 < 3.14 $, находится во второй четверти, где косинус отрицателен: $ \cos 2 < 0 $. Выражение представляет собой разность положительного и отрицательного чисел: $ (\text{положительное}) - (\text{отрицательное}) $. Это эквивалентно сложению двух положительных чисел, поэтому результат положителен.
Ответ: плюс.

в) В выражении $ \sin \frac{7\pi}{10} - \text{ctg} \frac{3\pi}{5} $ определим знак каждого члена. Угол $ \frac{7\pi}{10} $ находится в интервале $ (\frac{\pi}{2}, \pi) $, так как $ \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{10} $, а $ \pi = \frac{10\pi}{10} $. Это вторая четверть, где синус положителен: $ \sin \frac{7\pi}{10} > 0 $. Угол $ \frac{3\pi}{5} $ также находится во второй четверти, так как $ \frac{\pi}{2} = \frac{2.5\pi}{5} $, а $ \pi = \frac{5\pi}{5} $. Во второй четверти котангенс отрицателен: $ \text{ctg} \frac{3\pi}{5} < 0 $. Вычитая из положительного числа отрицательное, мы получаем положительный результат: $ (\text{положительное}) - (\text{отрицательное}) > 0 $.
Ответ: плюс.

г) В выражении $ \sin 2 - \text{ctg} 5.5 $ углы даны в радианах. Используем приближения $ \frac{\pi}{2} \approx 1.57 $, $ \pi \approx 3.14 $, $ \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 $, $ 2\pi \approx 6.28 $. Угол $ 2 $ радиана, так как $ 1.57 < 2 < 3.14 $, находится во второй четверти, где синус положителен: $ \sin 2 > 0 $. Угол $ 5.5 $ радиан, так как $ 4.71 < 5.5 < 6.28 $, находится в четвертой четверти, где котангенс отрицателен: $ \text{ctg} 5.5 < 0 $. Выражение представляет собой разность положительного и отрицательного чисел, что всегда дает положительный результат: $ (\text{положительное}) - (\text{отрицательное}) > 0 $.
Ответ: плюс.