Номер 13.35, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Параграф 13. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Глава 3. Тригонометрические функции. Часть 2 - номер 13.35, страница 91.

Условие.

13.35. a) $\text{ctg } 5 \cdot (x - 1) \ge 0;$

б) $\frac{\text{tg } 7 \cdot \text{cos } 1}{\text{sin } 1}(2x^2 - 72) < 0;$

в) $(\text{tg } 2 \cdot \text{sin } 5) \cdot (7 - 5x) \le 0;$

г) $\text{tg } 1 \cdot \text{ctg } 2 \cdot \text{tg } 3 \cdot \text{ctg } 4 \cdot (x^2 + 2) > 0.$

Решение 2.

Решение 3.

a) $ctg 5 \cdot (x - 1) \ge 0$

Это неравенство вида $k \cdot (x-1) \ge 0$, где коэффициент $k = ctg 5$. Для его решения необходимо определить знак этого коэффициента. Аргументы тригонометрических функций даны в радианах.

Оценим значение угла 5 радиан. Используя приближение $\pi \approx 3.14$, получаем: $3\pi/2 \approx 3 \cdot 3.14 / 2 = 4.71$ $2\pi \approx 2 \cdot 3.14 = 6.28$

Поскольку $4.71 < 5 < 6.28$, то есть $3\pi/2 < 5 < 2\pi$, угол в 5 радиан находится в IV координатной четверти.

В IV четверти косинус положителен, а синус отрицателен. Котангенс, как отношение косинуса к синусу, будет отрицательным: $ctg 5 < 0$.

Неравенство представляет собой произведение отрицательного числа ($ctg 5$) и выражения $(x-1)$. Чтобы произведение было неотрицательным (больше или равно нулю), множитель $(x-1)$ должен быть неположительным (меньше или равен нулю).

Разделим обе части исходного неравенства на отрицательное число $ctg 5$, при этом знак неравенства меняется на противоположный:

$x - 1 \le 0$

$x \le 1$

Ответ: $x \in (-\infty; 1]$.

б) $\frac{\operatorname{tg} 7 \cdot \cos 1}{\sin 1}(2x^2 - 72) < 0$

Это неравенство вида $k \cdot (2x^2 - 72) < 0$. Упростим коэффициент $k = \frac{\operatorname{tg} 7 \cdot \cos 1}{\sin 1}$, используя тождество $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$. Получим $k = \operatorname{tg} 7 \cdot \operatorname{ctg} 1$.

Определим знаки множителей в коэффициенте $k$.

Для $\operatorname{tg} 7$: так как $2\pi \approx 6.28$ и $5\pi/2 \approx 7.85$, то $2\pi < 7 < 5\pi/2$. Угол в 7 радиан находится в I четверти, значит $\operatorname{tg} 7 > 0$.

Для $\operatorname{ctg} 1$: так как $0 < 1 < \pi/2 \approx 1.57$, угол в 1 радиан находится в I четверти, значит $\operatorname{ctg} 1 > 0$.

Коэффициент $k$ является произведением двух положительных чисел, следовательно, $k > 0$.

Разделим обе части неравенства на положительный коэффициент $k$, знак неравенства при этом не изменится:

$2x^2 - 72 < 0$

$2(x^2 - 36) < 0$

$x^2 - 36 < 0$

$(x - 6)(x + 6) < 0$

Решением этого квадратного неравенства является интервал между его корнями $x_1 = -6$ и $x_2 = 6$.

Ответ: $x \in (-6; 6)$.

в) $(\operatorname{tg} 2 \cdot \sin 5) \cdot (7 - 5x) \le 0$

Это неравенство вида $k \cdot (7 - 5x) \le 0$, где $k = \operatorname{tg} 2 \cdot \sin 5$. Определим знак коэффициента $k$.

Определим знаки множителей:

Для $\operatorname{tg} 2$: так как $\pi/2 \approx 1.57$ и $\pi \approx 3.14$, то $\pi/2 < 2 < \pi$. Угол в 2 радиана находится во II четверти, где тангенс отрицателен: $\operatorname{tg} 2 < 0$.

Для $\sin 5$: как было установлено в пункте а), угол в 5 радиан находится в IV четверти, где синус отрицателен: $\sin 5 < 0$.

Коэффициент $k$ является произведением двух отрицательных чисел, следовательно, он положителен: $k > 0$.

Разделим обе части неравенства на положительное число $k$, знак неравенства не изменится:

$7 - 5x \le 0$

$7 \le 5x$

$x \ge \frac{7}{5}$

$x \ge 1.4$

Ответ: $x \in [1.4; +\infty)$.

г) $\operatorname{tg} 1 \cdot \operatorname{ctg} 2 \cdot \operatorname{tg} 3 \cdot \operatorname{ctg} 4 \cdot (x^2 + 2) > 0$

Рассмотрим множители в левой части неравенства.

Множитель $(x^2 + 2)$: так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 2 \ge 2$. Следовательно, этот множитель всегда положителен.

Теперь определим знак числового коэффициента $k = \operatorname{tg} 1 \cdot \operatorname{ctg} 2 \cdot \operatorname{tg} 3 \cdot \operatorname{ctg} 4$.

• $\operatorname{tg} 1$: $0 < 1 < \pi/2 \approx 1.57$ (I четверть) $\implies \operatorname{tg} 1 > 0$.
• $\operatorname{ctg} 2$: $\pi/2 \approx 1.57 < 2 < \pi \approx 3.14$ (II четверть) $\implies \operatorname{ctg} 2 < 0$.
• $\operatorname{tg} 3$: $\pi/2 \approx 1.57 < 3 < \pi \approx 3.14$ (II четверть) $\implies \operatorname{tg} 3 < 0$.
• $\operatorname{ctg} 4$: $\pi \approx 3.14 < 4 < 3\pi/2 \approx 4.71$ (III четверть) $\implies \operatorname{ctg} 4 > 0$.

Знак коэффициента $k$ определяется произведением знаков: $(+) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (+) = (+)$. Таким образом, $k > 0$.

Исходное неравенство сводится к виду: (положительное число) $\cdot$ (всегда положительное выражение) $> 0$.

Произведение двух положительных величин всегда положительно. Это неравенство верно для любого действительного значения $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.