Номер 13.32, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

13.32. Вычислите:

а) $\sin 4 + |\sin 4| + 2 \cos 13 - 2|\cos 13|;$

б) $\frac{\text{tg } 11 + |\text{tg } 11|}{|\text{ctg } 12| - \text{ctg } 12}.$

а) Для вычисления выражения $ \sin 4 + |\sin 4| + 2 \cos 13 - 2|\cos 13| $ необходимо раскрыть модули, определив знаки подмодульных выражений. Аргументы тригонометрических функций здесь и далее указаны в радианах.

1. Определим знак $ \sin 4 $. Для этого сравним число 4 с границами четвертей, выраженными через $ \pi \approx 3,14159... $.
Поскольку $ \pi \approx 3,14 $ и $ \frac{3\pi}{2} \approx \frac{3 \times 3,14}{2} = 4,71 $, то выполняется неравенство $ \pi < 4 < \frac{3\pi}{2} $. Это означает, что угол 4 радиана находится в III координатной четверти.
В III четверти синус имеет отрицательное значение, то есть $ \sin 4 < 0 $.
Согласно определению модуля, если $ x < 0 $, то $ |x| = -x $. Следовательно, $ |\sin 4| = -\sin 4 $.

2. Определим знак $ \cos 13 $. Для этого найдем, в какой четверти находится угол 13 радиан.
$ 4\pi = 4 \times \pi \approx 4 \times 3,14 = 12,56 $.
$ 4\pi + \frac{\pi}{2} \approx 12,56 + \frac{3,14}{2} = 12,56 + 1,57 = 14,13 $.
Таким образом, $ 4\pi < 13 < 4\pi + \frac{\pi}{2} $. Угол 13 радиан находится в I координатной четверти (после совершения двух полных оборотов по $ 2\pi $).
В I четверти косинус имеет положительное значение, то есть $ \cos 13 > 0 $.
Следовательно, $ |\cos 13| = \cos 13 $.

3. Подставим полученные выражения в исходное равенство и упростим его:
$ \sin 4 + |\sin 4| + 2 \cos 13 - 2|\cos 13| = \sin 4 + (-\sin 4) + 2 \cos 13 - 2(\cos 13) = (\sin 4 - \sin 4) + (2 \cos 13 - 2 \cos 13) = 0 + 0 = 0 $.

Ответ: $0$.

б) Рассмотрим выражение $ \frac{\mathrm{tg}\,11 + |\mathrm{tg}\,11|}{|\mathrm{ctg}\,12| - \mathrm{ctg}\,12} $.

Для его вычисления также необходимо определить знаки подмодульных выражений $ \mathrm{tg}\,11 $ и $ \mathrm{ctg}\,12 $.

1. Определим знак $ \mathrm{tg}\,11 $.
$ \frac{7\pi}{2} = 3,5\pi \approx 3,5 \times 3,14 = 10,99 $.
$ 4\pi \approx 12,56 $.
Поскольку $ \frac{7\pi}{2} < 11 < 4\pi $, угол 11 радиан находится в IV координатной четверти.
В IV четверти тангенс отрицателен ($ \mathrm{tg}\,x = \frac{\sin x}{\cos x} $, где $ \sin x < 0 $, а $ \cos x > 0 $), поэтому $ \mathrm{tg}\,11 < 0 $.
Следовательно, $ |\mathrm{tg}\,11| = -\mathrm{tg}\,11 $.

2. Определим знак $ \mathrm{ctg}\,12 $.
Используя те же приближения, видим, что $ \frac{7\pi}{2} < 12 < 4\pi $. Угол 12 радиан также находится в IV координатной четверти.
В IV четверти котангенс также отрицателен ($ \mathrm{ctg}\,x = \frac{\cos x}{\sin x} $, где $ \cos x > 0 $, а $ \sin x < 0 $), поэтому $ \mathrm{ctg}\,12 < 0 $.
Следовательно, $ |\mathrm{ctg}\,12| = -\mathrm{ctg}\,12 $.

3. Подставим полученные выражения в исходную дробь.
Числитель: $ \mathrm{tg}\,11 + |\mathrm{tg}\,11| = \mathrm{tg}\,11 + (-\mathrm{tg}\,11) = 0 $.

Знаменатель: $ |\mathrm{ctg}\,12| - \mathrm{ctg}\,12 = (-\mathrm{ctg}\,12) - \mathrm{ctg}\,12 = -2\,\mathrm{ctg}\,12 $.

Поскольку угол 12 не является точкой, где котангенс не определен (т.е. $ 12 \neq k\pi $ для целого $ k $), знаменатель не равен нулю.

Тогда все выражение равно:
$ \frac{0}{-2\,\mathrm{ctg}\,12} = 0 $.

Ответ: $0$.