Номер 13.52, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Докажите неравенство:

13.52. a) $\sin t < \operatorname{tg} t$, если $0 < t < \frac{\pi}{2}$;

б) $\cos t < \operatorname{ctg} t$, если $0 < t < \frac{\pi}{2}$.

Требуется доказать неравенство $\sin t < \tg t$ при условии $0 < t < \frac{\pi}{2}$.

Используем определение тангенса: $\tg t = \frac{\sin t}{\cos t}$. Подставим это выражение в исходное неравенство:
$\sin t < \frac{\sin t}{\cos t}$

В заданном интервале $0 < t < \frac{\pi}{2}$ (первая координатная четверть) значения синуса и косинуса положительны: $\sin t > 0$ и $\cos t > 0$.

Поскольку $\sin t > 0$, мы можем разделить обе части неравенства на $\sin t$, не меняя знака неравенства:
$\frac{\sin t}{\sin t} < \frac{\sin t}{\cos t \cdot \sin t}$
$1 < \frac{1}{\cos t}$

Так как $\cos t > 0$ в данном интервале, мы можем умножить обе части последнего неравенства на $\cos t$, сохранив знак неравенства:
$1 \cdot \cos t < \frac{1}{\cos t} \cdot \cos t$
$\cos t < 1$

Полученное неравенство $\cos t < 1$ является верным для любого $t$ из интервала $0 < t < \frac{\pi}{2}$, так как значение $\cos t = 1$ достигается только при $t = 2\pi k$, где $k$ – целое число (в частности, при $t=0$), а в нашем интервале $t$ строго больше нуля.

Поскольку все преобразования были равносильными, а итоговое неравенство истинно, то и исходное неравенство $\sin t < \tg t$ верно на заданном интервале.

Ответ: Неравенство доказано.

Требуется доказать неравенство $\cos t < \ctg t$ при условии $0 < t < \frac{\pi}{2}$.

Используем определение котангенса: $\ctg t = \frac{\cos t}{\sin t}$. Подставим это выражение в исходное неравенство:
$\cos t < \frac{\cos t}{\sin t}$

В заданном интервале $0 < t < \frac{\pi}{2}$ значения синуса и косинуса положительны: $\sin t > 0$ и $\cos t > 0$.

Поскольку $\cos t > 0$, мы можем разделить обе части неравенства на $\cos t$, не меняя знака неравенства:
$\frac{\cos t}{\cos t} < \frac{\cos t}{\sin t \cdot \cos t}$
$1 < \frac{1}{\sin t}$

Так как $\sin t > 0$ в данном интервале, мы можем умножить обе части последнего неравенства на $\sin t$, сохранив знак неравенства:
$1 \cdot \sin t < \frac{1}{\sin t} \cdot \sin t$
$\sin t < 1$

Полученное неравенство $\sin t < 1$ является верным для любого $t$ из интервала $0 < t < \frac{\pi}{2}$, так как значение $\sin t = 1$ достигается только при $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ – целое число (в частности, при $t = \frac{\pi}{2}$), а в нашем интервале $t$ строго меньше $\frac{\pi}{2}$.

Поскольку все преобразования были равносильными, а итоговое неравенство истинно, то и исходное неравенство $\cos t < \ctg t$ верно на заданном интервале.

Ответ: Неравенство доказано.