Номер 13.5, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

13.5. a) $ \sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right) + \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + \sin\frac{\pi}{4} \cdot \cos\frac{\pi}{2} + \cos 0 \cdot \sin\frac{\pi}{2}; $

б) $ \cos\frac{5\pi}{3} + \cos\frac{4\pi}{3} + \sin\frac{3\pi}{2} \cdot \sin\frac{5\pi}{8} \cdot \cos\frac{3\pi}{2}. $

a) $sin(-\frac{3\pi}{4}) + cos(-\frac{\pi}{4}) + sin\frac{\pi}{4} \cdot cos\frac{\pi}{2} + cos0 \cdot sin\frac{\pi}{2}$

Для решения данного выражения вычислим значение каждого слагаемого, используя свойства тригонометрических функций и их табличные значения.

1. Применим свойства четности и нечетности тригонометрических функций: синус — функция нечетная ($sin(-x) = -sin(x)$), а косинус — функция четная ($cos(-x) = cos(x)$).

$sin(-\frac{3\pi}{4}) = -sin(\frac{3\pi}{4})$

$cos(-\frac{\pi}{4}) = cos(\frac{\pi}{4})$

2. Найдем значения тригонометрических функций от стандартных углов. Для $sin(\frac{3\pi}{4})$ используем формулу приведения:

$sin(\frac{3\pi}{4}) = sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Следовательно, $sin(-\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Остальные значения являются табличными:

$cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

$cos(0) = 1$

$sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

3. Подставим все найденные значения в исходное выражение:

$-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 0 + 1 \cdot 1$

4. Выполним арифметические действия:

$(-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 0) + (1 \cdot 1) = 0 + 0 + 1 = 1$

Ответ: 1

б) $cos\frac{5\pi}{3} + cos\frac{4\pi}{3} + sin\frac{3\pi}{2} \cdot sin\frac{5\pi}{8} \cdot cos\frac{3\pi}{2}$

Рассмотрим выражение и вычислим значение каждой его части.

1. Обратим внимание на последнее слагаемое, которое представляет собой произведение трех множителей: $sin\frac{3\pi}{2} \cdot sin\frac{5\pi}{8} \cdot cos\frac{3\pi}{2}$.

Найдем значение $cos\frac{3\pi}{2}$. Это табличное значение:

$cos\frac{3\pi}{2} = 0$

Поскольку один из множителей равен нулю, все произведение равно нулю, и нам не нужно вычислять значения $sin\frac{3\pi}{2}$ и $sin\frac{5\pi}{8}$:

$sin\frac{3\pi}{2} \cdot sin\frac{5\pi}{8} \cdot 0 = 0$

2. Теперь выражение значительно упростилось:

$cos\frac{5\pi}{3} + cos\frac{4\pi}{3} + 0$

3. Найдем значения оставшихся косинусов, используя формулы приведения.

Для $cos\frac{5\pi}{3}$:

$cos\frac{5\pi}{3} = cos(2\pi - \frac{\pi}{3}) = cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ (угол $\frac{5\pi}{3}$ находится в IV четверти, где косинус положителен).

Для $cos\frac{4\pi}{3}$:

$cos\frac{4\pi}{3} = cos(\pi + \frac{\pi}{3}) = -cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ (угол $\frac{4\pi}{3}$ находится в III четверти, где косинус отрицателен).

4. Подставим вычисленные значения в упрощенное выражение:

$\frac{1}{2} + (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$

Ответ: 0