Номер 13.3, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

13.3. a) $t = \frac{13\pi}{6}$;

б) $t = -\frac{8\pi}{3}$;

В) $t = \frac{23\pi}{6}$;

Г) $t = -\frac{11\pi}{3}$.

Для определения, в какой четверти единичной окружности находится точка, соответствующая углу $t$, необходимо найти основной угол $t_0$, соответствующий $t$, в промежутке $[0, 2\pi)$. Это делается путем прибавления или вычитания целого числа полных оборотов ($2\pi k$, где $k$ - целое число). Формула: $t = t_0 + 2\pi k$.

• I четверть: $0 < t_0 < \frac{\pi}{2}$
• II четверть: $\frac{\pi}{2} < t_0 < \pi$
• III четверть: $\pi < t_0 < \frac{3\pi}{2}$
• IV четверть: $\frac{3\pi}{2} < t_0 < 2\pi$

а) $t = \frac{13\pi}{6}$

Представим угол $t$ в виде суммы целого числа оборотов и остатка. Для этого выделим из дроби $\frac{13}{6}$ целую часть:

$t = \frac{13\pi}{6} = \frac{12\pi + \pi}{6} = \frac{12\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6}$.

Это означает, что угол $\frac{13\pi}{6}$ получается совершением одного полного оборота ($2\pi$) и дополнительного поворота на угол $\frac{\pi}{6}$. Таким образом, точка на единичной окружности будет той же, что и для угла $\frac{\pi}{6}$.

Поскольку $0 < \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2}$, точка находится в I четверти.

Ответ: I четверть.

б) $t = -\frac{8\pi}{3}$

Чтобы найти соответствующий угол в промежутке $[0, 2\pi)$, будем прибавлять к данному отрицательному углу полные обороты ($2\pi$). Переведем $2\pi$ в дробь со знаменателем 3: $2\pi = \frac{6\pi}{3}$.

Поскольку $|-\frac{8\pi}{3}| = \frac{8\pi}{3} = 2\frac{2}{3}\pi$, нам нужно прибавить $4\pi$, чтобы получить положительный угол.

$t' = -\frac{8\pi}{3} + 4\pi = -\frac{8\pi}{3} + \frac{12\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.

Точка, соответствующая углу $-\frac{8\pi}{3}$, совпадает с точкой для угла $\frac{4\pi}{3}$. Определим четверть для $\frac{4\pi}{3}$.

Сравним этот угол с границами четвертей: $\pi$ и $\frac{3\pi}{2}$.

$\pi = \frac{3\pi}{3}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{4.5\pi}{3}$.

Так как $\pi < \frac{4\pi}{3} < \frac{3\pi}{2}$, точка находится в III четверти.

Ответ: III четверть.

в) $t = \frac{23\pi}{6}$

Выделим из угла $t$ целое число полных оборотов. Ближайшее к 23 число, кратное 6, - это 24.

$t = \frac{23\pi}{6} = \frac{24\pi - \pi}{6} = \frac{24\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = 4\pi - \frac{\pi}{6} = 2 \cdot (2\pi) - \frac{\pi}{6}$.

Это означает, что угол $\frac{23\pi}{6}$ соответствует тому же положению, что и угол $-\frac{\pi}{6}$. Чтобы получить угол в стандартном промежутке $[0, 2\pi)$, прибавим $2\pi$ к $-\frac{\pi}{6}$:

$t_0 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$.

Определим четверть для угла $\frac{11\pi}{6}$. Сравним его с границами четвертей: $\frac{3\pi}{2}$ и $2\pi$.

$\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}$ и $2\pi = \frac{12\pi}{6}$.

Так как $\frac{3\pi}{2} < \frac{11\pi}{6} < 2\pi$, точка находится в IV четверти.

Ответ: IV четверть.

г) $t = -\frac{11\pi}{3}$

Прибавим к отрицательному углу $t$ достаточное число полных оборотов ($2\pi = \frac{6\pi}{3}$), чтобы получить положительный угол в промежутке $[0, 2\pi)$.

Поскольку $|-\frac{11\pi}{3}| = \frac{11\pi}{3} \approx 3.67\pi$, нам нужно прибавить $4\pi$.

$t' = -\frac{11\pi}{3} + 4\pi = -\frac{11\pi}{3} + \frac{12\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.

Точка, соответствующая углу $-\frac{11\pi}{3}$, совпадает с точкой для угла $\frac{\pi}{3}$.

Поскольку $0 < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$, точка находится в I четверти.

Ответ: I четверть.