Номер 12.26, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

12.26. a) $x - y > 0$;

б) $xy > 0$;

В) $x + y < 0$;

Г) $xy < 0$.

Рассмотрим неравенство $x - y > 0$.

Перенесем $y$ в правую часть неравенства, чтобы выразить одну переменную через другую. Мы получим $x > y$, что эквивалентно записи $y < x$.

Чтобы найти множество точек, удовлетворяющих этому неравенству, сначала рассмотрим граничный случай — уравнение $y = x$. Графиком этого уравнения является прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов.

Поскольку исходное неравенство является строгим ($>$), точки на самой прямой $y = x$ не входят в решение. Неравенство $y < x$ означает, что для любой абсциссы $x$ искомые точки должны иметь ординату $y$ меньшую, чем $x$. Геометрически это соответствует всем точкам, которые лежат ниже прямой $y = x$.

Таким образом, решением является открытая полуплоскость, расположенная под прямой $y = x$.

Ответ: Множество точек координатной плоскости, расположенных ниже прямой $y = x$.

Рассмотрим неравенство $xy > 0$.

Произведение двух сомножителей $x$ и $y$ будет положительным в том и только в том случае, если оба сомножителя имеют одинаковый знак. Это приводит к двум возможным системам неравенств:

1. Оба числа положительны: $\begin{cases} x > 0 \\ y > 0 \end{cases}$. Эта система описывает все точки, находящиеся в первой координатной четверти (I квадрант).
2. Оба числа отрицательны: $\begin{cases} x < 0 \\ y < 0 \end{cases}$. Эта система описывает все точки, находящиеся в третьей координатной четверти (III квадрант).

Поскольку неравенство строгое, точки, лежащие на осях координат (где $x=0$ или $y=0$), не являются решением.

Следовательно, решением является объединение всех точек первой и третьей координатных четвертей, за исключением самих осей.

Ответ: Объединение открытой первой и открытой третьей координатных четвертей.

Рассмотрим неравенство $x + y < 0$.

Выразим переменную $y$: $y < -x$.

Границей области решения является прямая, заданная уравнением $y = -x$. Эта прямая проходит через начало координат и является биссектрисой второго и четвертого координатных углов.

Так как неравенство строгое ($<$), точки, лежащие на самой прямой $y = -x$, не входят в искомое множество. Неравенство $y < -x$ выполняется для всех точек, у которых ордината $y$ меньше, чем значение $-x$. Геометрически это все точки, расположенные ниже прямой $y = -x$.

Таким образом, решением является открытая полуплоскость, расположенная под прямой $y = -x$.

Ответ: Множество точек координатной плоскости, расположенных ниже прямой $y = -x$.

Рассмотрим неравенство $xy < 0$.

Произведение двух сомножителей $x$ и $y$ будет отрицательным в том и только в том случае, если сомножители имеют разные знаки. Это приводит к двум возможным системам неравенств:

1. Первое число положительно, а второе отрицательно: $\begin{cases} x > 0 \\ y < 0 \end{cases}$. Эта система описывает все точки, находящиеся в четвертой координатной четверти (IV квадрант).
2. Первое число отрицательно, а второе положительно: $\begin{cases} x < 0 \\ y > 0 \end{cases}$. Эта система описывает все точки, находящиеся во второй координатной четверти (II квадрант).

Поскольку неравенство строгое, точки, лежащие на координатных осях ($x=0$ или $y=0$), в решение не входят.

Таким образом, решением является объединение всех точек второй и четвертой координатных четвертей, за исключением осей.

Ответ: Объединение открытой второй и открытой четвертой координатных четвертей.