Номер 12.19, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

12.19. а) $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $x > 0$;

б) $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $x < 0$;

В) $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $x < 0$;

Г) $y = -\frac{1}{2}$, $x > 0$.

В данной задаче требуется найти угол $ \alpha $, соответствующий точке $ P(x, y) $ на единичной окружности, где $ x = \cos \alpha $ и $ y = \sin \alpha $. Условия для точки: $ y = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ x > 0 $.

Из условий следует, что $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \cos \alpha > 0 $. Поскольку и синус, и косинус положительны, угол $ \alpha $ находится в первой координатной четверти.

Найдем точное значение $ x $ из основного тригонометрического тождества $ x^2 + y^2 = 1 $:

$ x^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 $

$ x^2 + \frac{3}{4} = 1 $

$ x^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} $

Поскольку по условию $ x > 0 $, выбираем положительный корень: $ x = \frac{1}{2} $.

Таким образом, мы ищем угол $ \alpha $, для которого $ \cos \alpha = \frac{1}{2} $ и $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Этим условиям соответствует угол $ \alpha = \frac{\pi}{3} $.

Общее решение с учетом периодичности тригонометрических функций записывается как $ \alpha = \frac{\pi}{3} + 2\pi n $, где $ n $ — любое целое число ($ n \in \mathbb{Z} $).

Ответ: $ \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Даны условия для координат точки на единичной окружности: $ y = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ x < 0 $. Требуется найти соответствующий угол $ \alpha $, для которого $ x = \cos \alpha $ и $ y = \sin \alpha $.

Из условий следует, что $ \sin \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos \alpha < 0 $. Поскольку и синус, и косинус отрицательны, угол $ \alpha $ находится в третьей координатной четверти.

Найдем точное значение $ x $ из основного тригонометрического тождества $ x^2 + y^2 = 1 $:

$ x^2 + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1 $

$ x^2 + \frac{2}{4} = 1 $

$ x^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $

Поскольку по условию $ x < 0 $, выбираем отрицательный корень: $ x = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Таким образом, мы ищем угол $ \alpha $, для которого $ \cos \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Этим условиям соответствует угол $ \alpha = \frac{5\pi}{4} $.

Общее решение с учетом периодичности записывается как $ \alpha = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Даны условия для координат точки на единичной окружности: $ y = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ x < 0 $. Требуется найти соответствующий угол $ \alpha $, для которого $ x = \cos \alpha $ и $ y = \sin \alpha $.

Из условий следует, что $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos \alpha < 0 $. Поскольку синус положителен, а косинус отрицателен, угол $ \alpha $ находится во второй координатной четверти.

Найдем точное значение $ x $ из основного тригонометрического тождества $ x^2 + y^2 = 1 $:

$ x^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1 $

$ x^2 + \frac{2}{4} = 1 $

$ x^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $

Поскольку по условию $ x < 0 $, выбираем отрицательный корень: $ x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Таким образом, мы ищем угол $ \alpha $, для которого $ \cos \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Этим условиям соответствует угол $ \alpha = \frac{3\pi}{4} $.

Общее решение с учетом периодичности записывается как $ \alpha = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Даны условия для координат точки на единичной окружности: $ y = -\frac{1}{2} $ и $ x > 0 $. Требуется найти соответствующий угол $ \alpha $, для которого $ x = \cos \alpha $ и $ y = \sin \alpha $.

Из условий следует, что $ \sin \alpha = -\frac{1}{2} $ и $ \cos \alpha > 0 $. Поскольку синус отрицателен, а косинус положителен, угол $ \alpha $ находится в четвертой координатной четверти.

Найдем точное значение $ x $ из основного тригонометрического тождества $ x^2 + y^2 = 1 $:

$ x^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = 1 $

$ x^2 + \frac{1}{4} = 1 $

$ x^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $

Поскольку по условию $ x > 0 $, выбираем положительный корень: $ x = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Таким образом, мы ищем угол $ \alpha $, для которого $ \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \sin \alpha = -\frac{1}{2} $. Этим условиям соответствует угол $ \alpha = -\frac{\pi}{6} $ (или $ \frac{11\pi}{6} $).

Общее решение с учетом периодичности записывается как $ \alpha = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.