Номер 12.12, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

12.12. Как связаны между собой абсциссы точек числовой окружности:

а) $t$ и $-t$;

б) $t$ и $t + \pi$;

в) $t$ и $\pi - t$;

г) $t$ и $2\pi - t$?

Абсцисса точки числовой окружности, соответствующей числу (углу) $t$, равна косинусу этого числа, то есть $x = \cos(t)$. Мы будем сравнивать значения косинусов для каждой пары чисел.

а) t и -t

Абсцисса точки $t$ равна $\cos(t)$. Абсцисса точки $-t$ равна $\cos(-t)$. Функция косинус является четной, что означает, что для любого $t$ выполняется равенство $\cos(-t) = \cos(t)$. Следовательно, абсциссы точек $t$ и $-t$ равны. Геометрически точки $t$ и $-t$ на числовой окружности симметричны относительно оси абсцисс (оси Ox), поэтому их абсциссы (координаты по оси x) совпадают.

Ответ: Абсциссы точек $t$ и $-t$ равны: $\cos(t) = \cos(-t)$.

б) t и t + ?

Абсцисса точки $t$ равна $\cos(t)$. Абсцисса точки $t + \pi$ равна $\cos(t + \pi)$. Используя формулу приведения, получаем: $\cos(t + \pi) = -\cos(t)$. Следовательно, абсциссы точек $t$ и $t + \pi$ являются противоположными числами. Геометрически точки $t$ и $t + \pi$ на числовой окружности диаметрально противоположны (симметричны относительно начала координат), поэтому их абсциссы имеют противоположные знаки.

Ответ: Абсциссы точек $t$ и $t + \pi$ противоположны: $\cos(t + \pi) = -\cos(t)$.

в) t и ? - t

Абсцисса точки $t$ равна $\cos(t)$. Абсцисса точки $\pi - t$ равна $\cos(\pi - t)$. Используя формулу приведения, получаем: $\cos(\pi - t) = -\cos(t)$. Следовательно, абсциссы точек $t$ и $\pi - t$ также являются противоположными числами. Геометрически точки $t$ и $\pi - t$ на числовой окружности симметричны относительно оси ординат (оси Oy), поэтому их абсциссы (координаты по оси x) имеют противоположные знаки.

Ответ: Абсциссы точек $t$ и $\pi - t$ противоположны: $\cos(\pi - t) = -\cos(t)$.

г) t и 2? - t

Абсцисса точки $t$ равна $\cos(t)$. Абсцисса точки $2\pi - t$ равна $\cos(2\pi - t)$. Функция косинус имеет период $2\pi$, поэтому $\cos(2\pi - t) = \cos(-t)$. Так как косинус — четная функция, $\cos(-t) = \cos(t)$. Следовательно, абсциссы точек $t$ и $2\pi - t$ равны. Геометрически точка $2\pi - t$ совпадает с точкой $-t$. Как и в пункте а), эти точки симметричны точке $t$ относительно оси абсцисс, поэтому их абсциссы равны.

Ответ: Абсциссы точек $t$ и $2\pi - t$ равны: $\cos(2\pi - t) = \cos(t)$.