Номер 12.6, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Числовая окружность на координатной плоскости. Глава 3. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 12.6, страница 85.

12.6. На отрезке $[- \frac{3\pi}{8}; \frac{17\pi}{6}]$ укажите числа, которым на числовой окружности соответствует заданная точка:

а) $M(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2});$

б) $M(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2});$

в) $M(-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2});$

г) $M(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}).$

Общая задача состоит в том, чтобы найти все числа $t$ из отрезка $[-\frac{3\pi}{8}; \frac{17\pi}{6}]$, которые на числовой окружности соответствуют заданной точке $M(x, y)$. Координаты точки на числовой окружности связаны с числом $t$ формулами $x = \cos(t)$ и $y = \sin(t)$.

а) $M(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$

Координатам данной точки $M$ соответствуют числа $t$, для которых $\cos(t) = \frac{1}{2}$ и $\sin(t) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Все такие числа можно найти по формуле $t = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Теперь необходимо выбрать те значения $t$, которые принадлежат заданному отрезку $[-\frac{3\pi}{8}; \frac{17\pi}{6}]$. Для этого решим двойное неравенство относительно $k$:

$-\frac{3\pi}{8} \le \frac{\pi}{3} + 2\pi k \le \frac{17\pi}{6}$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$-\frac{3}{8} \le \frac{1}{3} + 2k \le \frac{17}{6}$

Вычтем $\frac{1}{3}$ из всех частей:

$-\frac{3}{8} - \frac{1}{3} \le 2k \le \frac{17}{6} - \frac{1}{3}$

$-\frac{9}{24} - \frac{8}{24} \le 2k \le \frac{17}{6} - \frac{2}{6}$

$-\frac{17}{24} \le 2k \le \frac{15}{6}$

$-\frac{17}{24} \le 2k \le \frac{5}{2}$

Разделим все части на 2:

$-\frac{17}{48} \le k \le \frac{5}{4}$

Приблизительно это выглядит как $-0.354 \le k \le 1.25$. Целыми числами в этом промежутке являются $k=0$ и $k=1$.

Найдем соответствующие значения $t$:

• При $k=0$: $t = \frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{3}$
• При $k=1$: $t = \frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot 1 = \frac{\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{7\pi}{3}$

Ответ: $\frac{\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}$.

б) $M(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$

Координатам точки $M$ соответствуют числа $t$, для которых $\cos(t) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(t) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Все такие числа описываются формулой $t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем значения $k$, для которых $t$ лежит в отрезке $[-\frac{3\pi}{8}; \frac{17\pi}{6}]$:

$-\frac{3\pi}{8} \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le \frac{17\pi}{6}$

$-\frac{3}{8} \le \frac{3}{4} + 2k \le \frac{17}{6}$

$-\frac{3}{8} - \frac{3}{4} \le 2k \le \frac{17}{6} - \frac{3}{4}$

$-\frac{3}{8} - \frac{6}{8} \le 2k \le \frac{34}{12} - \frac{9}{12}$

$-\frac{9}{8} \le 2k \le \frac{25}{12}$

$-\frac{9}{16} \le k \le \frac{25}{24}$

Приблизительно: $-0.5625 \le k \le 1.041...$ Целые значения $k$ в этом интервале: $k=0$ и $k=1$.

Вычислим $t$ для этих значений $k$:

• При $k=0$: $t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot 0 = \frac{3\pi}{4}$
• При $k=1$: $t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot 1 = \frac{3\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{11\pi}{4}$

Ответ: $\frac{3\pi}{4}; \frac{11\pi}{4}$.

в) $M(-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2})$

Координатам точки $M$ соответствуют числа $t$, для которых $\cos(t) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(t) = -\frac{1}{2}$. Все такие числа можно найти по формуле $t = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решим неравенство для отбора корней:

$-\frac{3\pi}{8} \le \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \le \frac{17\pi}{6}$

$-\frac{3}{8} \le \frac{7}{6} + 2k \le \frac{17}{6}$

$-\frac{3}{8} - \frac{7}{6} \le 2k \le \frac{17}{6} - \frac{7}{6}$

$-\frac{9}{24} - \frac{28}{24} \le 2k \le \frac{10}{6}$

$-\frac{37}{24} \le 2k \le \frac{5}{3}$

$-\frac{37}{48} \le k \le \frac{5}{6}$

Приблизительно: $-0.77 \le k \le 0.83...$ Единственное целое значение в этом промежутке — $k=0$.

Найдем соответствующее значение $t$:

• При $k=0$: $t = \frac{7\pi}{6} + 2\pi \cdot 0 = \frac{7\pi}{6}$

Ответ: $\frac{7\pi}{6}$.

г) $M(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$

Координатам точки $M$ соответствуют числа $t$, для которых $\cos(t) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(t) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Все такие числа можно найти по формуле $t = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решим неравенство для отбора корней:

$-\frac{3\pi}{8} \le -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \le \frac{17\pi}{6}$

$-\frac{3}{8} \le -\frac{1}{4} + 2k \le \frac{17}{6}$

$-\frac{3}{8} + \frac{1}{4} \le 2k \le \frac{17}{6} + \frac{1}{4}$

$-\frac{3}{8} + \frac{2}{8} \le 2k \le \frac{34}{12} + \frac{3}{12}$

$-\frac{1}{8} \le 2k \le \frac{37}{12}$

$-\frac{1}{16} \le k \le \frac{37}{24}$

Приблизительно: $-0.0625 \le k \le 1.541...$ Целые значения $k$ в этом интервале: $k=0$ и $k=1$.

Вычислим $t$ для этих значений $k$:

• При $k=0$: $t = -\frac{\pi}{4} + 2\pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{4}$
• При $k=1$: $t = -\frac{\pi}{4} + 2\pi \cdot 1 = -\frac{\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$

Ответ: $-\frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}$.