Номер 12.8, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Укажите знаки абсциссы и ординаты заданной точки числовой окружности:

12.8. а) $E(2)$;

б) $K(-4)$;

в) $P(3,2)$;

г) $M(-4,8)$.

Для определения знаков абсциссы ($x$) и ординаты ($y$) точки на числовой окружности, заданной числом $t$, необходимо определить, в какой координатной четверти находится эта точка. Координаты точки, соответствующей числу $t$, равны $x = \cos(t)$ и $y = \sin(t)$. Для определения четверти будем использовать приближенное значение числа $\pi \approx 3,14$.
Границы четвертей на числовой окружности:
I четверть: $t \in (0; \pi/2)$, то есть $t \in (0; \approx 1,57)$. Знаки координат: $x > 0, y > 0$.
II четверть: $t \in (\pi/2; \pi)$, то есть $t \in (\approx 1,57; \approx 3,14)$. Знаки координат: $x < 0, y > 0$.
III четверть: $t \in (\pi; 3\pi/2)$, то есть $t \in (\approx 3,14; \approx 4,71)$. Знаки координат: $x < 0, y < 0$.
IV четверть: $t \in (3\pi/2; 2\pi)$, то есть $t \in (\approx 4,71; \approx 6,28)$. Знаки координат: $x > 0, y < 0$.

а) E(2)
Задано число $t = 2$. Сравниваем это значение с границами четвертей: $1,57 < 2 < 3,14$. Это соответствует неравенству $\pi/2 < 2 < \pi$. Таким образом, точка E(2) расположена во II координатной четверти. Во II четверти абсцисса ($x$) отрицательна, а ордината ($y$) положительна.
Ответ: абсцисса - отрицательная, ордината - положительная.

б) K(-4)
Задано число $t = -4$. Для удобства определения четверти можно найти соответствующее положительное значение угла, прибавив полный оборот $2\pi$. $t' = -4 + 2\pi \approx -4 + 2 \cdot 3,14 = -4 + 6,28 = 2,28$. Сравниваем значение $t' = 2,28$ с границами четвертей: $1,57 < 2,28 < 3,14$. Это соответствует неравенству $\pi/2 < 2,28 < \pi$. Таким образом, точка K(-4) расположена во II координатной четверти. Во II четверти абсцисса ($x$) отрицательна, а ордината ($y$) положительна.
Ответ: абсцисса - отрицательная, ордината - положительная.

в) P(3,2)
Предполагая, что запятая в записи (3,2) является десятичным разделителем, имеем $t = 3,2$. Сравниваем это значение с границами четвертей: $3,14 < 3,2 < 4,71$. Это соответствует неравенству $\pi < 3,2 < 3\pi/2$. Таким образом, точка P(3,2) расположена в III координатной четверти. В III четверти и абсцисса ($x$), и ордината ($y$) отрицательны.
Ответ: абсцисса - отрицательная, ордината - отрицательная.

г) M(-4,8)
Предполагая, что запятая в записи (-4,8) является десятичным разделителем, имеем $t = -4,8$. Найдем соответствующее положительное значение, прибавив $2\pi$. $t' = -4,8 + 2\pi \approx -4,8 + 2 \cdot 3,14 = -4,8 + 6,28 = 1,48$. Сравниваем значение $t' = 1,48$ с границами четвертей: $0 < 1,48 < 1,57$. Это соответствует неравенству $0 < 1,48 < \pi/2$. Таким образом, точка M(-4,8) расположена в I координатной четверти. В I четверти и абсцисса ($x$), и ордината ($y$) положительны.
Ответ: абсцисса - положительная, ордината - положительная.