Номер 12.3, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

12.3. a) $M\left(-\frac{41\pi}{6}\right)$;

б) $M(117\pi)$;

в) $M\left(\frac{13\pi}{3}\right)$;

г) $M(126\pi)$.

Чтобы определить, в какой четверти единичной окружности находится точка $M(-\frac{41\pi}{6})$, найдем эквивалентный ей угол $\alpha$ в основном промежутке $[0, 2\pi)$. Для этого к заданному углу можно прибавлять или отнимать целое число полных оборотов ($2\pi k$, где $k$ — целое число).

Угол $t = -\frac{41\pi}{6}$. Представим его в виде смешанной дроби: $-\frac{41\pi}{6} = -6\frac{5}{6}\pi = -6\pi - \frac{5\pi}{6}$.

Отбрасывая полные обороты (в данном случае $-6\pi$, что соответствует 3 оборотам по часовой стрелке), мы получаем точку, соответствующую углу $-\frac{5\pi}{6}$. Чтобы получить угол из промежутка $[0, 2\pi)$, прибавим $2\pi$:

$\alpha = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{-5\pi + 12\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$.

Теперь определим, в какой четверти лежит угол $\alpha = \frac{7\pi}{6}$. Сравним его с границами четвертей:

I четверть: $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$

II четверть: $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$

III четверть: $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$

IV четверть: $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$

Так как $\pi = \frac{6\pi}{6}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}$, неравенство $\pi < \frac{7\pi}{6} < \frac{3\pi}{2}$ является верным.

Следовательно, точка находится в III четверти.

Ответ: III четверть.

Рассмотрим точку $M(117\pi)$. Чтобы определить ее положение, представим угол $117\pi$ в виде $\alpha + 2\pi k$, где $\alpha \in [0, 2\pi)$.

Поскольку 117 — нечетное число, мы можем записать $117\pi = 116\pi + \pi = 58 \cdot 2\pi + \pi$.

Отбросив 58 полных оборотов ($58 \cdot 2\pi$), получаем эквивалентный угол $\alpha = \pi$.

Точка $M(\pi)$ находится на единичной окружности на границе между II и III четвертями. Ее координаты $(-1, 0)$, то есть она лежит на отрицательной части оси абсцисс (Ox).

Ответ: Точка лежит на отрицательной части оси Ox, на границе II и III четвертей.

Для точки $M(\frac{13\pi}{3})$ найдем эквивалентный угол $\alpha$ в промежутке $[0, 2\pi)$.

Представим угол в виде смешанной дроби: $\frac{13\pi}{3} = 4\frac{1}{3}\pi = 4\pi + \frac{\pi}{3}$.

Отбрасывая полные обороты ($4\pi = 2 \cdot 2\pi$), получаем эквивалентный угол $\alpha = \frac{\pi}{3}$.

Теперь определим четверть для угла $\alpha = \frac{\pi}{3}$. Сравним его с границами четвертей: $0 < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$.

Следовательно, точка находится в I четверти.

Ответ: I четверть.

Рассмотрим точку $M(126\pi)$. Представим угол $126\pi$ в виде $\alpha + 2\pi k$, где $\alpha \in [0, 2\pi)$.

Поскольку 126 — четное число, мы можем записать $126\pi = 63 \cdot 2\pi$.

Это означает, что было совершено 63 полных оборота, и точка вернулась в исходное положение. Эквивалентный угол равен $\alpha = 0$.

Точка $M(0)$ находится на единичной окружности на границе между I и IV четвертями. Ее координаты $(1, 0)$, то есть она лежит на положительной части оси абсцисс (Ox).

Ответ: Точка лежит на положительной части оси Ox, на границе I и IV четвертей.