Номер 12.7, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

12.7. Имеется ли на числовой окружности точка, абсцисса или ордината которой равна:

а) $0,7$;

б) $\frac{\pi}{3}$;

в) $\frac{\pi}{4}$;

г) $\sqrt{17} - \sqrt{26}$?

Точка с координатами $(x; y)$ принадлежит числовой (единичной) окружности, если ее координаты удовлетворяют уравнению $x^2 + y^2 = 1$. Из этого уравнения следует, что для любой точки на окружности ее абсцисса $x$ и ордината $y$ должны удовлетворять условиям: $-1 \le x \le 1$ и $-1 \le y \le 1$. Таким образом, задача сводится к проверке, принадлежит ли заданное число отрезку $[-1; 1]$.

а) 0,7;

Проверим, может ли абсцисса или ордината быть равной 0,7. Для этого необходимо проверить, выполняется ли неравенство $-1 \le 0,7 \le 1$. Данное двойное неравенство является верным, так как число 0,7 находится между -1 и 1. Следовательно, на числовой окружности существует точка, у которой абсцисса или ордината равна 0,7. Например, если абсцисса $x = 0,7$, то ордината $y$ находится из уравнения $y^2 = 1 - (0,7)^2 = 1 - 0,49 = 0,51$, откуда $y = \pm\sqrt{0,51}$.

Ответ: да, имеется.

б) $\frac{\pi}{3}$;

Проверим, может ли абсцисса или ордината быть равной $\frac{\pi}{3}$. Для этого оценим значение этого числа. Используя приближенное значение $\pi \approx 3,14159$, получаем: $\frac{\pi}{3} \approx \frac{3,14159}{3} \approx 1,047$. Так как $1,047 > 1$, число $\frac{\pi}{3}$ не принадлежит отрезку $[-1; 1]$. Следовательно, на числовой окружности не может существовать точка с абсциссой или ординатой, равной $\frac{\pi}{3}$.

Ответ: нет, не имеется.

в) $\frac{\pi}{4}$;

Проверим, может ли абсцисса или ордината быть равной $\frac{\pi}{4}$. Оценим значение этого числа. Используя приближенное значение $\pi \approx 3,14159$, получаем: $\frac{\pi}{4} \approx \frac{3,14159}{4} \approx 0,785$. Проверяем неравенство $-1 \le 0,785 \le 1$. Неравенство является верным, так как число 0,785 находится между -1 и 1. Следовательно, на числовой окружности существует точка с такой абсциссой или ординатой.

Ответ: да, имеется.

г) $\sqrt{17} - \sqrt{26}$?

Проверим, может ли абсцисса или ордината быть равной $\sqrt{17} - \sqrt{26}$. Для этого оценим значение данного выражения и проверим, принадлежит ли оно отрезку $[-1; 1]$. Поскольку $17 < 26$, то $\sqrt{17} < \sqrt{26}$, и, следовательно, разность $\sqrt{17} - \sqrt{26}$ является отрицательным числом. Теперь сравним это число с -1. Проверим неравенство: $\sqrt{17} - \sqrt{26} \ge -1$. Перепишем его в виде $\sqrt{17} + 1 \ge \sqrt{26}$. Так как обе части неравенства положительны, мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства: $(\sqrt{17} + 1)^2 \ge (\sqrt{26})^2$ $17 + 2\sqrt{17} + 1 \ge 26$ $18 + 2\sqrt{17} \ge 26$ $2\sqrt{17} \ge 8$ $\sqrt{17} \ge 4$ Возведем обе части в квадрат еще раз (обе части положительны): $17 \ge 16$. Это неравенство является верным. Значит, и исходное неравенство $\sqrt{17} - \sqrt{26} \ge -1$ тоже верно. Таким образом, мы показали, что $-1 \le \sqrt{17} - \sqrt{26} < 0$, то есть это число принадлежит отрезку $[-1; 1]$. Следовательно, на числовой окружности существует точка с такой абсциссой или ординатой.

Ответ: да, имеется.