Номер 12.2, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

12.2. а) $M(-3\pi)$;

б) $M(\frac{11\pi}{4})$;

в) $M(-\frac{5\pi}{3})$;

г) $M(\frac{31\pi}{2})$.

а) Чтобы определить, в какой координатной четверти находится точка $M(-3\pi)$, нужно найти ее положение на единичной окружности. Положение точки на окружности является периодическим с периодом $2\pi$. Это означает, что точки $M(t)$ и $M(t + 2\pi k)$ совпадают для любого целого $k$.

Для угла $t = -3\pi$ можно прибавить два полных оборота ($k=2$), чтобы получить угол в стандартном диапазоне $[0, 2\pi)$.

$-3\pi + 2 \cdot 2\pi = -3\pi + 4\pi = \pi$.

Таким образом, точка $M(-3\pi)$ совпадает с точкой $M(\pi)$. Угол $\pi$ радиан соответствует точке на пересечении единичной окружности с отрицательной частью оси абсцисс (Ox). Координаты этой точки $(-1, 0)$. Эта точка лежит на границе между II и III четвертями.

Ответ: Точка лежит на границе II и III четвертей.

б) Найдем положение точки $M(\frac{11\pi}{4})$. Для этого приведем угол к диапазону $[0, 2\pi)$, вычитая полные обороты ($2\pi$).

$2\pi = \frac{8\pi}{4}$.

$\frac{11\pi}{4} = \frac{8\pi + 3\pi}{4} = \frac{8\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = 2\pi + \frac{3\pi}{4}$.

Отбросив полный оборот $2\pi$, получаем, что точка $M(\frac{11\pi}{4})$ совпадает с точкой $M(\frac{3\pi}{4})$.

Определим, в какой четверти находится угол $\frac{3\pi}{4}$. Сравним его с границами четвертей:

$\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{4} < \pi$, так как $\frac{2\pi}{4} < \frac{3\pi}{4} < \frac{4\pi}{4}$.

Это неравенство определяет II координатную четверть.

Ответ: II четверть.

в) Найдем положение точки $M(-\frac{5\pi}{3})$. Прибавим к отрицательному углу полный оборот $2\pi$, чтобы получить эквивалентный положительный угол.

$2\pi = \frac{6\pi}{3}$.

$-\frac{5\pi}{3} + 2\pi = -\frac{5\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.

Точка $M(-\frac{5\pi}{3})$ совпадает с точкой $M(\frac{\pi}{3})$.

Определим, в какой четверти находится угол $\frac{\pi}{3}$. Сравним его с границами четвертей:

$0 < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$.

Это неравенство определяет I координатную четверть.

Ответ: I четверть.

г) Найдем положение точки $M(\frac{31\pi}{2})$. Для этого вычтем из угла целое число полных оборотов $2\pi$.

Представим $\frac{31}{2}$ в виде смешанного числа: $\frac{31}{2} = 15.5$.

Таким образом, $\frac{31\pi}{2} = 15.5\pi = 14\pi + 1.5\pi = 7 \cdot 2\pi + \frac{3\pi}{2}$.

Отбросив 7 полных оборотов ($14\pi$), получаем, что точка $M(\frac{31\pi}{2})$ совпадает с точкой $M(\frac{3\pi}{2})$.

Угол $\frac{3\pi}{2}$ радиан соответствует точке на пересечении единичной окружности с отрицательной частью оси ординат (Oy). Координаты этой точки $(0, -1)$. Эта точка лежит на границе между III и IV четвертями.

Ответ: Точка лежит на границе III и IV четвертей.