Номер 11.30, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

11.30. a) $t = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, t = \frac{\pi n}{3};$

б) $t = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, t = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n;$

В) $t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, t = 2\pi n;$

Г) $t = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, t = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n.$

а)

Даны две серии решений для $t$: $t = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ и $t = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$. Задача состоит в том, чтобы найти объединенное множество этих решений и представить его в виде одной формулы.

Первая серия решений $t = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$ задает на единичной окружности четыре точки. Для подсерии $t = \frac{\pi}{3} + \pi n$ это точки $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{4\pi}{3}$. Для подсерии $t = -\frac{\pi}{3} + \pi n$ это точки $-\frac{\pi}{3}$ (или $\frac{5\pi}{3}$) и $\frac{2\pi}{3}$. Итоговый набор точек: $\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$.

Вторая серия решений $t = \frac{\pi n}{3}$ при различных целых $n$ задает на единичной окружности следующие точки: при $n=0, t=0$; при $n=1, t=\frac{\pi}{3}$; при $n=2, t=\frac{2\pi}{3}$; при $n=3, t=\pi$; при $n=4, t=\frac{4\pi}{3}$; при $n=5, t=\frac{5\pi}{3}$. При $n=6$ точка $t=2\pi$ совпадает с $t=0$. Таким образом, вторая серия задает шесть точек: $0, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$.

Сравнивая множества точек, мы видим, что все точки из первой серии содержатся во второй серии. Следовательно, объединением этих двух серий решений является вторая, более общая серия.

Ответ: $t = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Даны две серии решений: $t = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ и $t = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Объединим эти два множества решений.

Первая серия $t = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$ является общей формулой для решения уравнения $\sin(t) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. На единичной окружности это соответствует точкам $\frac{\pi}{4}$ и $\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Вторая серия $t = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n$ является общей формулой для решения уравнения $\sin(t) = \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. На единичной окружности это соответствует точкам $-\frac{\pi}{4}$ (или $\frac{7\pi}{4}$) и $\pi - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{5\pi}{4}$.

Объединение этих двух серий включает в себя все решения уравнений $\sin(t) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(t) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это можно записать как одно уравнение $\sin^2(t) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{1}{2}$.

Решим это уравнение, используя формулу понижения степени $\sin^2(t) = \frac{1 - \cos(2t)}{2}$:

$\frac{1 - \cos(2t)}{2} = \frac{1}{2}$

$1 - \cos(2t) = 1$

$\cos(2t) = 0$

Решения этого уравнения: $2t = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Разделив обе части на 2, получаем общую формулу для объединенного множества решений: $t = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

в)

Даны две серии решений: $t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ и $t = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Найдем их объединение.

Первая серия $t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ является общей формулой для решения уравнения $\cos(t) = \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$. На единичной окружности это соответствует точкам $\frac{2\pi}{3}$ и $-\frac{2\pi}{3}$ (или $\frac{4\pi}{3}$).

Вторая серия $t = 2\pi n$ является общей формулой для решения уравнения $\cos(t) = \cos(0) = 1$. На единичной окружности это соответствует одной точке $0$.

Объединение этих серий представляет собой множество точек $\{0, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\}$ на единичной окружности. Эти три точки расположены на окружности равномерно, с шагом $\frac{2\pi}{3}$. Мы можем записать это объединенное множество одной формулой, начав с точки $t=0$ и добавляя кратные $\frac{2\pi}{3}$: $t = \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

Проверим: при $n=0$ получаем $t=0$; при $n=1$ получаем $t=\frac{2\pi}{3}$; при $n=2$ получаем $t=\frac{4\pi}{3}$. Эти точки соответствуют всем решениям из исходных серий.

Ответ: $t = \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

г)

Даны две серии решений: $t = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ и $t = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Объединим эти два множества решений.

Первая серия $t = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$ является общей формулой для решения уравнения $\sin(t) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. На единичной окружности это соответствует точкам $\frac{\pi}{6}$ и $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Вторая серия $t = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$ является общей формулой для решения уравнения $\sin(t) = \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$. На единичной окружности это соответствует точкам $-\frac{\pi}{6}$ (или $\frac{11\pi}{6}$) и $\pi - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{7\pi}{6}$.

Объединение этих двух серий включает в себя все решения уравнений $\sin(t) = \frac{1}{2}$ и $\sin(t) = -\frac{1}{2}$. Это можно записать как одно уравнение $\sin^2(t) = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Решим это уравнение, используя формулу понижения степени $\sin^2(t) = \frac{1 - \cos(2t)}{2}$:

$\frac{1 - \cos(2t)}{2} = \frac{1}{4}$

$1 - \cos(2t) = \frac{1}{2}$

$\cos(2t) = \frac{1}{2}$

Решения этого уравнения: $2t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Разделив обе части на 2, получаем общую формулу для объединенного множества решений: $t = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.