Номер 11.27, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Выделите на числовой окружности дугу, точки которой удовлетворяют заданному неравенству (во всех формулах предполагается, что $n \in \mathbb{Z}$):

11.27. а) $\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$

б) $2\pi n < t < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n;$

в) $\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n;$

г) $\pi + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n.$

а)

Рассмотрим неравенство $ \frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n $, где $n \in \mathbb{Z}$.

Наличие слагаемого $2\pi n$ означает, что множество точек, удовлетворяющих неравенству, периодично с периодом $2\pi$. Чтобы выделить дугу на единичной окружности, достаточно рассмотреть случай при $n=0$, что дает нам интервал $ \frac{\pi}{6} < t < \frac{2\pi}{3} $.

Данный интервал задает на числовой окружности открытую дугу, так как неравенство строгое (концевые точки не включаются). Дуга начинается в точке, соответствующей значению $t = \frac{\pi}{6}$ (I координатная четверть), и заканчивается в точке, соответствующей $t = \frac{2\pi}{3}$ (II координатная четверть). Обход дуги производится против часовой стрелки.

Ответ: Открытая дуга числовой окружности, начинающаяся в точке $\frac{\pi}{6}$ и заканчивающаяся в точке $\frac{2\pi}{3}$ при движении против часовой стрелки. Дуга расположена в I и II четвертях.

б)

Рассмотрим неравенство $ 2\pi n < t < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n $, где $n \in \mathbb{Z}$.

При $n=0$ получаем интервал $ 0 < t < \frac{5\pi}{4} $. Этот интервал соответствует основной дуге на числовой окружности.

Это открытая дуга, начинающаяся в точке, соответствующей $t = 0$ (положительная полуось оси Ox), и заканчивающаяся в точке, соответствующей $t = \frac{5\pi}{4}$ (III координатная четверть). Движение по дуге осуществляется против часовой стрелки, проходя через I, II и часть III четверти.

Ответ: Открытая дуга числовой окружности, начинающаяся в точке $0$ и заканчивающаяся в точке $\frac{5\pi}{4}$ при движении против часовой стрелки. Дуга проходит через I, II и III четверти.

в)

Рассмотрим неравенство $ \frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n $, где $n \in \mathbb{Z}$.

При $n=0$ получаем интервал $ \frac{\pi}{2} < t < \frac{3\pi}{2} $. Этот интервал соответствует основной дуге на числовой окружности.

Это открытая дуга, начинающаяся в точке $t = \frac{\pi}{2}$ (положительная полуось оси Oy) и заканчивающаяся в точке $t = \frac{3\pi}{2}$ (отрицательная полуось оси Oy). Дуга проходится против часовой стрелки и представляет собой левую половину числовой окружности, то есть все точки с отрицательной абсциссой.

Ответ: Открытая дуга числовой окружности, являющаяся левой полуокружностью, с началом в точке $\frac{\pi}{2}$ и концом в точке $\frac{3\pi}{2}$ при движении против часовой стрелки. Дуга расположена во II и III четвертях.

г)

Рассмотрим неравенство $ \pi + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n $, где $n \in \mathbb{Z}$.

При $n=0$ получаем интервал $ \pi < t < \frac{5\pi}{3} $. Этот интервал соответствует основной дуге на числовой окружности.

Это открытая дуга, которая начинается в точке $t = \pi$ (отрицательная полуось оси Ox) и заканчивается в точке $t = \frac{5\pi}{3}$ (IV координатная четверть). Обход дуги производится против часовой стрелки, проходя через III и часть IV четверти.

Ответ: Открытая дуга числовой окружности, начинающаяся в точке $\pi$ и заканчивающаяся в точке $\frac{5\pi}{3}$ при движении против часовой стрелки. Дуга расположена в III и IV четвертях.