Номер 11.22, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Найдите все числа $t$, которым на числовой окружности соответствуют точки, принадлежащие указанной открытой дуге или объединению дуг (см. рис. 44):

11.22. a) $AB$;

б) $AB \cup CD$;

в) $BD$;

г) $BC \cup DA$.

Поскольку в условии задачи отсутствует рис. 44, будем исходить из стандартного расположения точек на единичной (числовой) окружности. Точки A, B, C и D соответствуют следующим значениям числа $t$ (угла в радианах):

• Точка A (правая точка на горизонтальной оси): $t_A = 2\pi k$
• Точка B (верхняя точка на вертикальной оси): $t_B = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$
• Точка C (левая точка на горизонтальной оси): $t_C = \pi + 2\pi k$
• Точка D (нижняя точка на вертикальной оси): $t_D = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$

Здесь $k \in \mathbb{Z}$ (любое целое число), что отражает периодичность. Движение по дуге по умолчанию рассматривается против часовой стрелки. В задаче указаны открытые дуги, поэтому концы дуг (точки A, B, C, D) не включаются в решение.

а) AB

Найдём все числа $t$, соответствующие точкам открытой дуги AB. Эта дуга начинается в точке A и заканчивается в точке B при движении против часовой стрелки. Числовые значения для точек на этой дуге должны быть строго больше значения для точки A и строго меньше значения для точки B.

Для любого целого $k$ имеем:

$t_A < t < t_B$

$2\pi k < t < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Это неравенство описывает все точки в первой четверти числовой окружности.

Ответ: $t \in (2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

б) AB ? CD

Найдём все числа $t$, соответствующие точкам, принадлежащим объединению открытых дуг AB и CD. Нам нужно найти два множества чисел и объединить их.

1. Для дуги AB, как найдено в пункте а), числа $t$ удовлетворяют неравенству:

$2\pi k < t < \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

2. Для дуги CD, которая начинается в точке C и заканчивается в точке D, числа $t$ должны удовлетворять неравенству $t_C < t < t_D$:

$\pi + 2\pi k < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Это неравенство описывает все точки в третьей четверти.

Объединение этих двух множеств и будет решением.

Ответ: $t \in (2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k) \cup (\pi + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

в) BD

Найдём все числа $t$, соответствующие точкам открытой дуги BD. Дуга начинается в B и заканчивается в D, проходя через точку C.

Числа $t$ должны быть строго больше значения для точки B и строго меньше значения для точки D:

$t_B < t < t_D$

$\frac{\pi}{2} + 2\pi k < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Этот интервал описывает точки второй и третьей четвертей.

Ответ: $t \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

г) BC ? DA

Найдём все числа $t$, соответствующие точкам, принадлежащим объединению открытых дуг BC и DA.

1. Для дуги BC, которая начинается в точке B и заканчивается в точке C, числа $t$ удовлетворяют неравенству $t_B < t < t_C$:

$\frac{\pi}{2} + 2\pi k < t < \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Это неравенство описывает все точки во второй четверти.

2. Для дуги DA, которая начинается в точке D и заканчивается в точке A, движение происходит через конец полного оборота. Значение для точки A на следующем витке будет $2\pi$ (для $k=0$), а для D - $3\pi/2$. Поэтому $t$ удовлетворяет неравенству $t_D < t < t_A$:

$\frac{3\pi}{2} + 2\pi k < t < 2\pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Это неравенство описывает все точки в четвертой четверти.

Объединяя решения для обеих дуг, получаем итоговый ответ.

Ответ: $t \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \pi + 2\pi k) \cup (\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.