Номер 11.20, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Числовая окружность разделена точками на 12 равных частей (рис. 45). Составьте формулу для всех чисел, которым соответствуют точки:

11.20. а) M и K;

б) P и E;

в) P и L;

г) M и F.

Полный оборот числовой окружности соответствует $2\pi$ радиан. Так как окружность разделена на 12 равных частей, дуга между двумя соседними точками равна $\frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$ радиан.

Примем, что точка P соответствует началу отсчета, то есть числу 0. Двигаясь против часовой стрелки, определим числа, соответствующие заданным точкам, согласно стандартному расположению на "рис. 45":

• Точка P: $t = 0$
• Точка F: $t = 2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$
• Точка E: $t = 3 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$
• Точка L: $t = 5 \cdot \frac{\pi}{6}$
• Точка M: $t = 6 \cdot \frac{\pi}{6} = \pi$
• Точка K: $t = 9 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$

Общая формула для всех чисел, соответствующих точке $t_0$ на числовой окружности, имеет вид $t = t_0 + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Для каждой пары точек мы запишем две отдельные формулы, так как в данных случаях они не являются диаметрально противоположными и не могут быть объединены в одну более простую формулу.

а) M и K

Точке M соответствует число $\pi$. Формула для этой точки: $t = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Точке K соответствует число $\frac{3\pi}{2}$. Формула для этой точки: $t = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $t = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) P и E

Точке P соответствует число $0$. Формула для этой точки: $t = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Точке E соответствует число $\frac{\pi}{2}$. Формула для этой точки: $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) P и L

Точке P соответствует число $0$. Формула для этой точки: $t = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Точке L соответствует число $\frac{5\pi}{6}$. Формула для этой точки: $t = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $t = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) M и F

Точке M соответствует число $\pi$. Формула для этой точки: $t = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Точке F соответствует число $\frac{\pi}{3}$. Формула для этой точки: $t = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $t = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.