Номер 11.13, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

11.13. Укажите однозначное натуральное число, которому на числовой окружности (рис. 42) соответствует точка, наиболее близкая:

а) к точке $A$;

б) к точке $B$;

в) к точке $C$;

г) к точке $D$.

Для решения этой задачи мы будем находить, какое из однозначных натуральных чисел (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) на числовой окружности расположено ближе всего к указанным точкам. Расстояние между двумя точками на числовой окружности — это кратчайшая длина дуги между ними.

Координаты (в радианах) основных точек на числовой окружности, соответствующие числам вида $t_0 + 2k\pi$ (где $k$ — целое число), имеют следующие приближенные значения (используя $\pi \approx 3,14$):

• Точка A (правая): $0, 2\pi \approx 6,28, 4\pi \approx 12,57, \ldots$
• Точка B (верхняя): $\frac{\pi}{2} \approx 1,57, \frac{5\pi}{2} \approx 7,85, \ldots$
• Точка C (левая): $\pi \approx 3,14, 3\pi \approx 9,42, \ldots$
• Точка D (нижняя): $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71, \frac{7\pi}{2} \approx 10,99, \ldots$

Мы будем сравнивать каждое из натуральных чисел от 1 до 9 с этими значениями, чтобы найти число с наименьшей разницей (расстоянием).

а) к точке А;

Точке A соответствуют числа $2k\pi$. Мы ищем натуральное число $n \in \{1, \ldots, 9\}$, для которого величина $|n - 2k\pi|$ минимальна. Будем сравнивать с $0$ (при $k=0$) и $2\pi \approx 6,28$ (при $k=1$).

Проанализируем числа, близкие к этим значениям:

• Расстояние от 1 до 0: $|1 - 0| = 1$.
• Расстояние от 6 до $2\pi$: $|6 - 6,28| = 0,28$.
• Расстояние от 7 до $2\pi$: $|7 - 6,28| = 0,72$.

Сравнивая все возможные расстояния, видим, что наименьшее из них — у числа 6. Расстояние до точки, соответствующей $2\pi$, составляет примерно 0,28.

Ответ: 6

б) к точке B;

Точке B соответствуют числа $\frac{\pi}{2} + 2k\pi$. Будем сравнивать с $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$ (при $k=0$) и $\frac{5\pi}{2} \approx 7,85$ (при $k=1$).

Проанализируем числа, близкие к этим значениям:

• Расстояние от 1 до $\frac{\pi}{2}$: $|1 - 1,57| = 0,57$.
• Расстояние от 2 до $\frac{\pi}{2}$: $|2 - 1,57| = 0,43$.
• Расстояние от 7 до $\frac{5\pi}{2}$: $|7 - 7,85| = 0,85$.
• Расстояние от 8 до $\frac{5\pi}{2}$: $|8 - 7,85| = 0,15$.

Наименьшее расстояние — у числа 8. Расстояние до точки, соответствующей $\frac{5\pi}{2}$, составляет примерно 0,15.

Ответ: 8

в) к точке C;

Точке C соответствуют числа $\pi + 2k\pi$. Будем сравнивать с $\pi \approx 3,14$ (при $k=0$) и $3\pi \approx 9,42$ (при $k=1$).

Проанализируем числа, близкие к этим значениям:

• Расстояние от 3 до $\pi$: $|3 - 3,14| = 0,14$.
• Расстояние от 4 до $\pi$: $|4 - 3,14| = 0,86$.
• Расстояние от 9 до $3\pi$: $|9 - 9,42| = 0,42$.

Наименьшее расстояние — у числа 3. Расстояние до точки, соответствующей $\pi$, составляет примерно 0,14.

Ответ: 3

г) к точке D.

Точке D соответствуют числа $\frac{3\pi}{2} + 2k\pi$. Будем сравнивать с $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$ (при $k=0$).

Проанализируем числа, близкие к этому значению:

• Расстояние от 4 до $\frac{3\pi}{2}$: $|4 - 4,71| = 0,71$.
• Расстояние от 5 до $\frac{3\pi}{2}$: $|5 - 4,71| = 0,29$.

Наименьшее расстояние — у числа 5. Расстояние до точки, соответствующей $\frac{3\pi}{2}$, составляет примерно 0,29.

Ответ: 5