Номер 11.16, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

11.16. a) $t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n;$

Б) $t = \frac{2\pi n}{3};$

В) $t = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n;$

Г) $t = \frac{\pi n}{3}.$

а) $t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Эта формула описывает два множества значений для $t$. В выражении $n$ является любым целым числом ($n \in \mathbb{Z}$), а слагаемое $2\pi n$ представляет собой целое число полных оборотов на единичной окружности. Это означает, что для каждого из двух знаков (плюс и минус) все значения $n$ приводят к одной и той же точке на окружности.

1. Первая серия решений: $t_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.
При любых целых $n$ (например, $n=0, 1, -1, \ldots$) мы получаем углы, которые на единичной окружности соответствуют одной и той же точке, а именно точке $P_1(\frac{\pi}{6})$.

2. Вторая серия решений: $t_2 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$.
Аналогично, при любых целых $n$ все эти углы соответствуют точке $P_2(-\frac{\pi}{6})$ на единичной окружности. Угол $-\frac{\pi}{6}$ также можно представить как $2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$.

Таким образом, данная формула задает две точки на единичной окружности. Эти точки симметричны относительно оси абсцисс. Эта формула является общим решением тригонометрического уравнения $\cos(t) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: Две точки на единичной окружности, соответствующие углам $\frac{\pi}{6}$ и $-\frac{\pi}{6}$.

б) $t = \frac{2\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$

Эта формула описывает одно множество значений $t$. Чтобы найти все различные точки на единичной окружности, будем подставлять последовательные целые значения для $n$ до тех пор, пока точки не начнут повторяться.

При $n=0$: $t = \frac{2\pi \cdot 0}{3} = 0$.
При $n=1$: $t = \frac{2\pi \cdot 1}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
При $n=2$: $t = \frac{2\pi \cdot 2}{3} = \frac{4\pi}{3}$.
При $n=3$: $t = \frac{2\pi \cdot 3}{3} = 2\pi$. Эта точка совпадает с точкой для $n=0$.
При $n=4$: $t = \frac{2\pi \cdot 4}{3} = \frac{8\pi}{3} = 2\pi + \frac{2\pi}{3}$. Эта точка совпадает с точкой для $n=1$.

Дальнейшее увеличение $n$ (или использование отрицательных значений) будет давать те же самые три точки. Например, при $n=-1$, $t = -\frac{2\pi}{3}$, что соответствует точке $\frac{4\pi}{3}$ ($-\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$). Таким образом, формула задает три точки на единичной окружности, которые являются вершинами правильного треугольника, вписанного в окружность.

Ответ: Три точки на единичной окружности, соответствующие углам $0$, $\frac{2\pi}{3}$ и $\frac{4\pi}{3}$.

в) $t = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Формула задает две серии точек. Слагаемое $\pi n$ означает добавление полоборота. Найдем все различные точки на окружности для каждой серии.

1. Первая серия: $t_1 = \frac{\pi}{3} + \pi n$.
При $n=0$: $t = \frac{\pi}{3}$.
При $n=1$: $t = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$.
При $n=2$: $t = \frac{\pi}{3} + 2\pi$. Точка совпадает с $n=0$.
Эта серия дает две диаметрально противоположные точки: $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{4\pi}{3}$.

2. Вторая серия: $t_2 = -\frac{\pi}{3} + \pi n$.
При $n=0$: $t = -\frac{\pi}{3}$ (или $\frac{5\pi}{3}$).
При $n=1$: $t = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3}$.
При $n=2$: $t = -\frac{\pi}{3} + 2\pi$. Точка совпадает с $n=0$.
Эта серия также дает две диаметрально противоположные точки: $-\frac{\pi}{3}$ и $\frac{2\pi}{3}$.

Всего получаем четыре различные точки. Эта формула является решением уравнения, например, $\cos(2t) = -\frac{1}{2}$.

Ответ: Четыре точки на единичной окружности, соответствующие углам $\frac{\pi}{3}$, $\frac{2\pi}{3}$, $\frac{4\pi}{3}$ и $\frac{5\pi}{3}$.

г) $t = \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$

Эта формула описывает одно множество значений $t$. Найдем все различные точки на единичной окружности, подставляя последовательные целые значения для $n$.

При $n=0$: $t = 0$.
При $n=1$: $t = \frac{\pi}{3}$.
При $n=2$: $t = \frac{2\pi}{3}$.
При $n=3$: $t = \frac{3\pi}{3} = \pi$.
При $n=4$: $t = \frac{4\pi}{3}$.
При $n=5$: $t = \frac{5\pi}{3}$.
При $n=6$: $t = \frac{6\pi}{3} = 2\pi$. Эта точка совпадает с точкой для $n=0$.

При дальнейших значениях $n$ точки будут циклически повторяться. Таким образом, формула задает шесть точек на единичной окружности. Эти точки являются вершинами правильного шестиугольника, вписанного в окружность. Эта формула является решением, например, уравнения $\sin(3t)=0$.

Ответ: Шесть точек на единичной окружности, соответствующие углам $0$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{2\pi}{3}$, $\pi$, $\frac{4\pi}{3}$ и $\frac{5\pi}{3}$.