Номер 11.14, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

11.14. Как расположены на числовой прямой и на числовой окружности точки, соответствующие числам:

а) $t$ и $-t$;

б) $t$ и $t + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$;

в) $t$ и $t + \pi$;

г) $t + \pi$ и $t - \pi$?

а) $t$ и $-t$

На числовой прямой: Точки, соответствующие числам $t$ и $-t$, расположены симметрично относительно начала отсчета (точки 0). Они находятся на одинаковом расстоянии $|t|$ от нуля, но в противоположных направлениях. Если $t > 0$, то точка $t$ находится справа от нуля, а точка $-t$ — слева. Если $t=0$, эти точки совпадают.

На числовой окружности: Точка, соответствующая числу $t$, имеет координаты $(\cos t, \sin t)$. Точка, соответствующая числу $-t$, имеет координаты $(\cos(-t), \sin(-t)) = (\cos t, -\sin t)$. Эти точки имеют одинаковую абсциссу и противоположные ординаты, следовательно, они расположены симметрично относительно оси абсцисс (оси косинусов).

Ответ: На числовой прямой точки симметричны относительно нуля. На числовой окружности точки симметричны относительно оси абсцисс.

б) $t$ и $t + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

На числовой прямой: Число $t + 2\pi k$ получается из числа $t$ сдвигом на $2\pi k$. Если $k=0$, то точки совпадают. Если $k \neq 0$, то это разные точки. Расстояние между точкой $t$ и точкой $t + 2\pi k$ равно $|(t + 2\pi k) - t| = |2\pi k|$. В целом, это бесконечный набор точек, расположенных на равных расстояниях $2\pi$ друг от друга (если $k$ пробегает все целые значения).

На числовой окружности: Длина числовой окружности равна $2\pi$. Прибавление $2\pi k$ (где $k$ — целое число) к числу $t$ означает, что мы делаем $k$ полных оборотов по окружности и возвращаемся в исходную точку. Координаты точки не меняются: $\cos(t + 2\pi k) = \cos t$ и $\sin(t + 2\pi k) = \sin t$. Таким образом, все числа вида $t + 2\pi k$ соответствуют одной и той же точке на окружности.

Ответ: На числовой прямой это разные точки (если $k \neq 0$), отстоящие от точки $t$ на расстояние, кратное $2\pi$. На числовой окружности все эти числа соответствуют одной и той же точке, то есть точки совпадают.

в) $t$ и $t + \pi$

На числовой прямой: Точка $t + \pi$ находится правее точки $t$ на расстоянии $\pi$. Это две разные точки.

На числовой окружности: Прибавление $\pi$ к числу $t$ соответствует повороту точки на $180^\circ$ (или $\pi$ радиан). Точки, соответствующие числам $t$ и $t + \pi$, являются диаметрально противоположными. Координаты точки $t$ — это $(\cos t, \sin t)$, а координаты точки $t + \pi$ — это $(\cos(t+\pi), \sin(t+\pi)) = (-\cos t, -\sin t)$. Эти точки симметричны относительно центра окружности (начала координат).

Ответ: На числовой прямой точка $t+\pi$ смещена вправо от точки $t$ на расстояние $\pi$. На числовой окружности это две диаметрально противоположные точки.

г) $t + \pi$ и $t - \pi$

На числовой прямой: Это две разные точки. Расстояние между ними равно $|(t + \pi) - (t - \pi)| = |2\pi| = 2\pi$. Точка $t+\pi$ находится правее точки $t-\pi$ на $2\pi$. Обе точки симметричны относительно точки $t$.

На числовой окружности: Разность между числами $(t + \pi)$ и $(t - \pi)$ равна $2\pi$. Это соответствует одному полному обороту по окружности. Следовательно, оба числа, $t + \pi$ и $t - \pi$, соответствуют одной и той же точке на числовой окружности. Это можно проверить по координатам: точка для $t+\pi$ это $(\cos(t+\pi), \sin(t+\pi)) = (-\cos t, -\sin t)$, и точка для $t-\pi$ это $(\cos(t-\pi), \sin(t-\pi)) = (-\cos t, -\sin t)$. Координаты совпадают.

Ответ: На числовой прямой это две разные точки, расстояние между которыми равно $2\pi$. На числовой окружности они соответствуют одной и той же точке, то есть совпадают.