Номер 11.18, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Числовая окружность разделена точками на восемь равных частей (рис. 44). Составьте формулу для всех чисел, которым соответствуют точки:

11.18. a) A и C;

б) B и D;

в) M и P;

г) N и Q.

По условию, числовая окружность, длина которой равна $2\pi$, разделена на восемь равных частей. Это означает, что длина дуги между двумя соседними точками деления составляет $\frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$.

Так как в условии отсутствует рисунок 44, мы будем основываться на стандартном расположении точек. Предположим, что точки $A, B, C, D$ соответствуют пересечениям окружности с осями координат, а точки $M, N, P, Q$ — серединам дуг между ними. Тогда наименьшие неотрицательные числа, соответствующие этим точкам, будут:

• Точка A: $0$
• Точка M: $\frac{\pi}{4}$
• Точка B: $\frac{\pi}{2}$
• Точка N: $\frac{3\pi}{4}$
• Точка C: $\pi$
• Точка P: $\frac{5\pi}{4}$
• Точка D: $\frac{3\pi}{2}$
• Точка Q: $\frac{7\pi}{4}$

Во всех четырех случаях требуется найти формулу для пары диаметрально противоположных точек. Расстояние между такими точками по окружности равно $\pi$. Если $t_0$ — это одно из чисел, соответствующее первой точке, то общая формула для обеих точек имеет вид $t = t_0 + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Точке A соответствует число $0$, а точке C — число $\pi$. Используя общую формулу для диаметрально противоположных точек и взяв за основу точку A (число $0$), получаем: $t = 0 + \pi n = \pi n$.
Ответ: $t = \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Точке B соответствует число $\frac{\pi}{2}$, а точке D — число $\frac{3\pi}{2}$. Взяв за основу точку B (число $\frac{\pi}{2}$), получаем формулу: $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$.
Ответ: $t = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Точке M соответствует число $\frac{\pi}{4}$, а точке P — число $\frac{5\pi}{4}$. Взяв за основу точку M (число $\frac{\pi}{4}$), получаем формулу: $t = \frac{\pi}{4} + \pi n$.
Ответ: $t = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Точке N соответствует число $\frac{3\pi}{4}$, а точке Q — число $\frac{7\pi}{4}$. Взяв за основу точку N (число $\frac{3\pi}{4}$), получаем формулу: $t = \frac{3\pi}{4} + \pi n$.
Ответ: $t = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$