Номер 11.25, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Найдите все числа $t$, которым на числовой окружности соответствуют точки, принадлежащие указанной дуге (см. рис. 45):

11.25. а) $MP$;

б) $AQ$;

в) $BL$;

г) $DF$.

Для решения задачи необходимо определить, каким числовым значениям $t$ соответствуют указанные точки на единичной числовой окружности. Движение по дуге от первой указанной точки ко второй по умолчанию происходит против часовой стрелки. Общая формула для всех таких чисел $t$ учитывает периодичность, добавляя слагаемое $2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

На стандартной числовой окружности (согласно рис. 45 из учебника) точки имеют следующие значения в радианах:

• Точка M: $t = \pi/3$
• Точка P: $t = \pi/6$
• Точка A: $t = 0$
• Точка Q: $t = \pi/4$
• Точка B: $t = \pi/2$
• Точка L: $t = 2\pi/3$
• Точка D: $t = 3\pi/2$
• Точка F: $t = 5\pi/4$

а) MP

Начальная точка дуги — M, которой соответствует значение $t_1 = \pi/3$. Конечная точка дуги — P, которой соответствует значение $t_2 = \pi/6$. Поскольку движение по дуге происходит против часовой стрелки, а начальное значение угла больше конечного ($t_1 > t_2$), дуга проходит через точку $t=2\pi$. Это означает, что конечная точка P находится на следующем витке окружности. Ее значение можно представить как $t_2' = \pi/6 + 2\pi = 13\pi/6$. Таким образом, все точки $t$ на этой дуге удовлетворяют неравенству $\pi/3 \le t \le 13\pi/6$. Для получения всех возможных значений $t$ добавляем период $2\pi k$.

Ответ: $\pi/3 + 2\pi k \le t \le 13\pi/6 + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) AQ

Начальная точка дуги — A, которой соответствует значение $t_1 = 0$. Конечная точка дуги — Q, которой соответствует значение $t_2 = \pi/4$. Поскольку $t_1 < t_2$, дуга не пересекает начало отсчета. Все точки $t$ на этой дуге удовлетворяют неравенству $0 \le t \le \pi/4$. Для получения всех возможных значений $t$ добавляем период $2\pi k$.

Ответ: $2\pi k \le t \le \pi/4 + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) BL

Начальная точка дуги — B, которой соответствует значение $t_1 = \pi/2$. Конечная точка дуги — L, которой соответствует значение $t_2 = 2\pi/3$. Поскольку $t_1 < t_2$ ($\pi/2 = 3\pi/6$ и $2\pi/3 = 4\pi/6$), дуга находится в пределах одного оборота и не пересекает начало отсчета. Все точки $t$ на этой дуге удовлетворяют неравенству $\pi/2 \le t \le 2\pi/3$. Для получения всех возможных значений $t$ добавляем период $2\pi k$.

Ответ: $\pi/2 + 2\pi k \le t \le 2\pi/3 + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) DF

Начальная точка дуги — D, которой соответствует значение $t_1 = 3\pi/2$. Конечная точка дуги — F, которой соответствует значение $t_2 = 5\pi/4$. Поскольку $t_1 > t_2$ ($3\pi/2 = 6\pi/4$), дуга, проходимая против часовой стрелки, пересекает точку $t=2\pi$. Конечная точка F находится на следующем витке, и ее значение можно представить как $t_2' = 5\pi/4 + 2\pi = 13\pi/4$. Таким образом, все точки $t$ на этой дуге удовлетворяют неравенству $3\pi/2 \le t \le 13\pi/4$. Для получения всех возможных значений $t$ добавляем период $2\pi k$.

Ответ: $3\pi/2 + 2\pi k \le t \le 13\pi/4 + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.