Номер 11.28, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

11.28. a) $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$

б) $-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n;$

в) $-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$

г) $-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n.$

а)

Данное двойное неравенство $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ определяет множество углов $t$. Слагаемое $2\pi n$ (где $n$ — любое целое число, $n \in \mathbb{Z}$) указывает на то, что множество решений является периодическим с периодом $2\pi$.

Чтобы представить это множество на тригонометрической окружности, рассмотрим основной интервал, который получается при $n=0$: $-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2}$.

Угол $t=-\frac{\pi}{2}$ соответствует нижней точке единичной окружности (с координатами $(0, -1)$), а угол $t=\frac{\pi}{2}$ — верхней точке (с координатами $(0, 1)$). Неравенство $-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2}$ описывает все углы, находящиеся между этими двумя значениями при движении против часовой стрелки. Это соответствует открытой дуге, которая является правой половиной единичной окружности (I и IV координатные четверти). Точки, соответствующие углам $-\frac{\pi}{2}$ и $\frac{\pi}{2}$, не включаются, так как неравенство строгое. Данное множество является решением неравенства $\cos(t) > 0$.

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Неравенство $-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$, задает периодическое множество углов $t$ с периодом $2\pi$.

Рассмотрим основной интервал при $n=0$: $-\frac{\pi}{6} < t < \frac{7\pi}{6}$.

На тригонометрической окружности угол $t=-\frac{\pi}{6}$ находится в IV четверти (координаты точки $(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$), а угол $t=\frac{7\pi}{6}$ находится в III четверти (координаты точки $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$). Решением является открытая дуга, которая начинается в точке, соответствующей углу $-\frac{\pi}{6}$, и идет против часовой стрелки через I, II и часть III четверти до точки, соответствующей углу $\frac{7\pi}{6}$.

Длина этой дуги составляет $\frac{7\pi}{6} - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{8\pi}{6} = \frac{4\pi}{3}$. На концах этого интервала синус принимает одинаковое значение: $\sin(-\frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$. Для любой точки $t$ внутри этого интервала выполняется неравенство $\sin(t) > -\frac{1}{2}$, решением которого и является данное множество.

Ответ: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в)

Неравенство $-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$, задает периодическое множество углов $t$ с периодом $2\pi$.

Рассмотрим основной интервал при $n=0$: $-\frac{3\pi}{4} < t < \frac{2\pi}{3}$.

На тригонометрической окружности угол $t=-\frac{3\pi}{4}$ находится в III четверти (координаты точки $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$), а угол $t=\frac{2\pi}{3}$ находится во II четверти (координаты точки $(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$). Решением является открытая дуга, которая начинается в точке $-\frac{3\pi}{4}$ и идет против часовой стрелки через IV, I и часть II четверти до точки $\frac{2\pi}{3}$.

Длина этой дуги составляет $\frac{2\pi}{3} - (-\frac{3\pi}{4}) = \frac{8\pi + 9\pi}{12} = \frac{17\pi}{12}$. Концевые точки дуги не включаются в решение, так как неравенство строгое.

Ответ: $-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г)

Неравенство $-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$, задает периодическое множество углов $t$ с периодом $2\pi$.

Рассмотрим основной интервал при $n=0$: $-\frac{\pi}{6} < t < \frac{5\pi}{4}$.

На тригонометрической окружности угол $t=-\frac{\pi}{6}$ находится в IV четверти (координаты точки $(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$), а угол $t=\frac{5\pi}{4}$ находится в III четверти (координаты точки $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$). Решением является открытая дуга, которая начинается в точке $-\frac{\pi}{6}$ и идет против часовой стрелки через I, II и часть III четверти до точки $\frac{5\pi}{4}$.

Длина этой дуги составляет $\frac{5\pi}{4} - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{15\pi + 2\pi}{12} = \frac{17\pi}{12}$. Концевые точки дуги не включаются в решение, так как неравенство строгое.

Ответ: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.