Номер 11.31, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

11.31. a) $t = -\frac{\pi}{6} + \pi(2n + 1)$, $t = \frac{\pi}{30} + \frac{2\pi n}{5}$;

б) $t = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$, $t = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n$, $t = \pi n$;

в) $t = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, $t = \frac{\pi}{4} \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$;

г) $t = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n$, $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $t = \pi n$.

а) Даны две серии решений: $t = -\frac{\pi}{6} + \pi(2n + 1)$ и $t = \frac{\pi}{30} + \frac{2\pi n}{5}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим первую серию решений: $t_1 = -\frac{\pi}{6} + \pi(2n + 1)$. Преобразуем выражение: $t_1 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n + \pi = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$. Эта серия задает на тригонометрической окружности одну точку: $\frac{5\pi}{6}$.

Рассмотрим вторую серию решений: $t_2 = \frac{\pi}{30} + \frac{2\pi n}{5}$. Эта серия задает на тригонометрической окружности 5 точек, так как период $\frac{2\pi}{5}$ укладывается в полный круг $2\pi$ ровно 5 раз. Найдем эти точки, подставляя $n = 0, 1, 2, 3, 4$:

• при $n=0: t = \frac{\pi}{30}$
• при $n=1: t = \frac{\pi}{30} + \frac{2\pi}{5} = \frac{\pi+12\pi}{30} = \frac{13\pi}{30}$
• при $n=2: t = \frac{\pi}{30} + \frac{4\pi}{5} = \frac{\pi+24\pi}{30} = \frac{25\pi}{30} = \frac{5\pi}{6}$
• при $n=3: t = \frac{\pi}{30} + \frac{6\pi}{5} = \frac{\pi+36\pi}{30} = \frac{37\pi}{30}$
• при $n=4: t = \frac{\pi}{30} + \frac{8\pi}{5} = \frac{\pi+48\pi}{30} = \frac{49\pi}{30}$

Сравнивая множества решений, мы видим, что точка $\frac{5\pi}{6}$ из первой серии содержится во второй серии (при $n=2$). Следовательно, первая серия является подмножеством второй. Объединением двух серий является вторая, более общая серия.

Ответ: $t = \frac{\pi}{30} + \frac{2\pi n}{5}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) Даны три серии решений: $t = (-1)^n\frac{\pi}{3} + \pi n$, $t = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{3} + \pi n$ и $t = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Найдем все уникальные точки, которые задают эти серии на тригонометрической окружности в интервале $[0, 2\pi)$.

• Первая серия, $t = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$, задает точки $\frac{\pi}{3}$ (при четном $n$) и $-\frac{\pi}{3}+\pi = \frac{2\pi}{3}$ (при нечетном $n$).
• Вторая серия, $t = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n = -((-1)^n \frac{\pi}{3}) + \pi n$, задает точки $-\frac{\pi}{3}$ (или $\frac{5\pi}{3}$) (при четном $n$) и $\frac{\pi}{3}+\pi = \frac{4\pi}{3}$ (при нечетном $n$).
• Третья серия, $t = \pi n$, задает точки $0$ (при четном $n$) и $\pi$ (при нечетном $n$).

Таким образом, мы получаем 6 точек на окружности: $0, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$.

Эти точки расположены на окружности равномерно с шагом $\frac{\pi}{3}$. Их можно описать одной формулой, взяв за начальную точку $t=0$ и добавляя кратные шага $\frac{\pi}{3}$.

Ответ: $t = \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

в) Даны две серии решений: $t = -\frac{\pi}{4} + \pi n$ и $t = \frac{\pi}{4} \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Найдем все уникальные точки на тригонометрической окружности, которые задают данные серии.

• Первая серия $t = -\frac{\pi}{4} + \pi n$ дает точки $-\frac{\pi}{4}$ (или $\frac{7\pi}{4}$) и $-\frac{\pi}{4}+\pi = \frac{3\pi}{4}$.
• Вторая серия $t = \frac{\pi}{4} \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$ распадается на две подсерии:
  • $t = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + \pi n = \frac{3\pi+2\pi}{12} + \pi n = \frac{5\pi}{12} + \pi n$, что дает точки $\frac{5\pi}{12}$ и $\frac{5\pi}{12}+\pi = \frac{17\pi}{12}$.
  • $t = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + \pi n = \frac{3\pi-2\pi}{12} + \pi n = \frac{\pi}{12} + \pi n$, что дает точки $\frac{\pi}{12}$ и $\frac{\pi}{12}+\pi = \frac{13\pi}{12}$.

Приведем все точки к общему знаменателю 12 и упорядочим их в интервале $[0, 2\pi)$: $\frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, \frac{9\pi}{12} (=\frac{3\pi}{4}), \frac{13\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}, \frac{21\pi}{12} (=\frac{7\pi}{4})$.

Всего мы имеем 6 точек. Заметим, что разница между соседними точками постоянна и равна $\frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{3}$. Это значит, что все решения можно объединить в одну серию с начальной точкой $\frac{\pi}{12}$ и шагом $\frac{\pi}{3}$.

Ответ: $t = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

г) Даны три серии решений: $t = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n$, $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$ и $t = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Определим все точки на тригонометрической окружности, соответствующие данным сериям решений.

• Первая серия $t = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n$ задает четыре точки: $\frac{\pi}{4}$, $\frac{3\pi}{4}$, $\frac{5\pi}{4}$ и $\frac{7\pi}{4}$. Эту серию можно записать как $t = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$.
• Вторая серия $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$ задает две точки: $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$.
• Третья серия $t = \pi n$ задает две точки: $0$ и $\pi$.

Объединив все точки, получим 8 точек на окружности: $0, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}, \pi, \frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}$.

Эти точки расположены на окружности равномерно. Шаг между соседними точками равен $\frac{\pi}{4}$. Следовательно, все решения можно объединить в одну общую серию, начиная с $t=0$ и с шагом $\frac{\pi}{4}$.

Ответ: $t = \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.