Номер 11.24, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

11.24. а) $QA \cup NC;$

б) $AN \cup CQ;$

В) $MN \cup PQ;$

Г) $AM \cup BN \cup CP \cup DQ.$

Для решения данной задачи введем геометрический контекст, так как он не представлен в условии. Будем рассматривать параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Точки M, N, P, Q определим как середины ребер $AA_1$, $CC_1$, $A_1D_1$ и $BC$ соответственно. Такой выбор обусловлен тем, что при этих условиях четырехугольник MNPQ является параллелограммом, центр которого совпадает с центром симметрии параллелепипеда, что приводит к содержательному решению для одного из пунктов.

Введем векторный базис с началом в точке A: $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$, $\vec{AA_1} = \vec{c}$. Тогда координаты вершин и точек будут следующими:$A(\vec{0})$, $B(\vec{a})$, $C(\vec{a}+\vec{b})$, $D(\vec{b})$, $A_1(\vec{c})$, $C_1(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$, $D_1(\vec{b}+\vec{c})$.Координаты середин ребер:M - середина $AA_1$: $\vec{M} = \frac{1}{2}\vec{c}$.N - середина $CC_1$: $\vec{N} = \frac{1}{2}(\vec{C} + \vec{C_1}) = \frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b} + \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) = \vec{a}+\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}$.P - середина $A_1D_1$: $\vec{P} = \frac{1}{2}(\vec{A_1} + \vec{D_1}) = \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{b}+\vec{c}) = \frac{1}{2}\vec{b}+\vec{c}$.Q - середина $BC$: $\vec{Q} = \frac{1}{2}(\vec{B} + \vec{C}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{a}+\vec{b}) = \vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}$.

а) $QA \cup NC$

Рассмотрим отрезки $QA$ и $NC$.Отрезок $QA$ соединяет точку Q (середину ребра $BC$) и вершину A. Этот отрезок полностью лежит в плоскости нижнего основания $ABCD$.Отрезок $NC$ соединяет точку N (середину ребра $CC_1$) и вершину C. Этот отрезок является нижней половиной бокового ребра $CC_1$.Прямые, содержащие эти отрезки, являются скрещивающимися. Прямая $QA$ лежит в плоскости $ABC$, а прямая $NC$ (совпадает с прямой $CC_1$) пересекает эту плоскость в точке C, которая не лежит на прямой $QA$. Следовательно, отрезки не пересекаются и лежат в разных плоскостях.Объединение $QA \cup NC$ представляет собой множество точек, принадлежащих этим двум скрещивающимся отрезкам.
Ответ: Объединение двух скрещивающихся отрезков: отрезка, соединяющего вершину A с серединой ребра BC, и отрезка, являющегося нижней половиной ребра $CC_1$.

б) $AN \cup CQ$

Рассмотрим отрезки $AN$ и $CQ$.Отрезок $AN$ соединяет вершину A с точкой N (серединой ребра $CC_1$). Этот отрезок проходит через внутреннюю область параллелепипеда.Отрезок $CQ$ соединяет вершину C с точкой Q (серединой ребра $BC$). Этот отрезок является половиной ребра $BC$, прилегающей к вершине C, и полностью лежит на прямой $BC$.Прямые $AN$ и $BC$ являются скрещивающимися, так как точка A не лежит в плоскости грани $BCC_1B_1$, в которой находится прямая $BC$. Следовательно, отрезки $AN$ и $CQ$ также скрещиваются.Объединение $AN \cup CQ$ представляет собой множество точек, принадлежащих этим двум скрещивающимся отрезкам.
Ответ: Объединение двух скрещивающихся отрезков: отрезка, соединяющего вершину A с серединой ребра $CC_1$, и отрезка, являющегося половиной ребра $BC$, примыкающей к вершине C.

в) $MN \cup PQ$

Рассмотрим отрезки $MN$ и $PQ$. Как было указано в начале, четырехугольник MNPQ является параллелограммом, поскольку середины его диагоналей $MN$ и $PQ$ совпадают. Найдем координаты середин:Середина $MN$: $\frac{1}{2}(\vec{M} + \vec{N}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}\vec{c} + \vec{a}+\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}) = \frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}$.Середина $PQ$: $\frac{1}{2}(\vec{P} + \vec{Q}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}\vec{b}+\vec{c} + \vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}) = \frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}$.Точка с вектором $\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$ является центром симметрии параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.Отрезки $MN$ и $PQ$ являются диагоналями параллелограмма MNPQ. Следовательно, они пересекаются в одной точке — центре параллелепипеда.Объединение $MN \cup PQ$ представляет собой два пересекающихся в центре параллелепипеда отрезка.
Ответ: Объединение двух отрезков $MN$ и $PQ$, которые являются диагоналями параллелограмма MNPQ и пересекаются в центре параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

г) $AM \cup BN \cup CP \cup DQ$

Рассмотрим каждый отрезок по отдельности:1. Отрезок $AM$ соединяет вершину A с точкой M (серединой ребра $AA_1$). Это нижняя половина бокового ребра $AA_1$.2. Отрезок $BN$ соединяет вершину B с точкой N (серединой ребра $CC_1$).3. Отрезок $CP$ соединяет вершину C с точкой P (серединой ребра $A_1D_1$).4. Отрезок $DQ$ соединяет вершину D с точкой Q (серединой ребра $BC$).Эти четыре отрезка являются пространственными отрезками, соединяющими вершины нижнего основания (A, B, C, D) с точками M, N, P, Q. Каких-либо очевидных упрощений для их объединения не просматривается. Они образуют совокупность четырех отрезков в пространстве.
Ответ: Объединение четырех отрезков в пространстве:

• $AM$ - нижняя половина ребра $AA_1$;
• $BN$ - отрезок, соединяющий вершину B и середину ребра $CC_1$;
• $CP$ - отрезок, соединяющий вершину C и середину ребра $A_1D_1$;
• $DQ$ - отрезок, соединяющий вершину D и середину ребра $BC$.