Номер 11.17, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

11.17. a) $t = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n;$

б) $t = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2};$

в) $t = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n;$

г) $t = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}.$

В каждом пункте необходимо по заданной формуле для корней $t$ восстановить исходное тригонометрическое уравнение. В общем виде, $n$ является целым числом ($n \in \mathbb{Z}$).

Дана серия решений $t = (-1)^n\frac{\pi}{6} + \pi n$.

Эта формула является стандартной общей формулой для решения тригонометрического уравнения вида $\sin(t) = a$, которое записывается как $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$.

Сравнивая данную формулу с общей, мы можем определить, что $\arcsin(a) = \frac{\pi}{6}$.

Чтобы найти значение $a$, необходимо взять синус от обеих частей этого равенства:

$a = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$

Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.

Следовательно, исходное уравнение имеет вид $\sin(t) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\sin(t) = \frac{1}{2}$

Дана серия решений $t = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$.

Для определения вида исходного уравнения преобразуем данное выражение. Умножим обе части равенства на 2:

$2t = 2 \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}\right)$

$2t = \frac{2\pi}{4} + \frac{2\pi n}{2}$

$2t = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Выражение вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ является общей формулой для решения уравнения $\cos(x) = 0$.

В нашем случае $x = 2t$. Таким образом, исходное уравнение — это $\cos(2t) = 0$. Это уравнение эквивалентно уравнениям $\cot(2t)=0$ или $\tan^2(t)=1$, но является наиболее фундаментальным.

Ответ: $\cos(2t) = 0$

Дана серия решений $t = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{3} + \pi n$.

Эта формула очень похожа на общую формулу для решения уравнения $\sin(t) = a$, которая имеет вид $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$.

Преобразуем данное выражение, используя свойство степеней $(-1)^{n+1} = (-1)^n \cdot (-1)^1 = -(-1)^n$:

$t = -(-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \pi n$

Теперь, сравнив полученное выражение с общей формулой $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, мы можем заключить, что $\arcsin(a) = -\frac{\pi}{3}$.

Чтобы найти $a$, берем синус от обеих частей:

$a = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$

Поскольку синус является нечетной функцией ($\sin(-x) = -\sin(x)$), получаем:

$a = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Таким образом, исходное уравнение: $\sin(t) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\sin(t) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Дана серия решений $t = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$.

Чтобы определить исходное уравнение, преобразуем данное выражение. Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от дроби в периодической части:

$3t = 3 \left(-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}\right)$

$3t = -\frac{3\pi}{6} + \frac{3 \cdot 2\pi n}{3}$

$3t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Выражение вида $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$ является общей формулой для частного случая решения тригонометрического уравнения, а именно для $\sin(x) = -1$.

В нашем случае $x = 3t$. Следовательно, исходное уравнение имеет вид $\sin(3t) = -1$.

Для проверки решим уравнение $\sin(3t) = -1$. Обозначим $u=3t$. Решением $\sin(u)=-1$ является $u = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Подставляя обратно $3t$, получаем $3t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, откуда $t = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$, что полностью совпадает с данной в условии формулой.

Ответ: $\sin(3t) = -1$