Страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

11.14. Как расположены на числовой прямой и на числовой окружности точки, соответствующие числам:

а) $t$ и $-t$;

б) $t$ и $t + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$;

в) $t$ и $t + \pi$;

г) $t + \pi$ и $t - \pi$?

а) $t$ и $-t$

На числовой прямой: Точки, соответствующие числам $t$ и $-t$, расположены симметрично относительно начала отсчета (точки 0). Они находятся на одинаковом расстоянии $|t|$ от нуля, но в противоположных направлениях. Если $t > 0$, то точка $t$ находится справа от нуля, а точка $-t$ — слева. Если $t=0$, эти точки совпадают.

На числовой окружности: Точка, соответствующая числу $t$, имеет координаты $(\cos t, \sin t)$. Точка, соответствующая числу $-t$, имеет координаты $(\cos(-t), \sin(-t)) = (\cos t, -\sin t)$. Эти точки имеют одинаковую абсциссу и противоположные ординаты, следовательно, они расположены симметрично относительно оси абсцисс (оси косинусов).

Ответ: На числовой прямой точки симметричны относительно нуля. На числовой окружности точки симметричны относительно оси абсцисс.

б) $t$ и $t + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

На числовой прямой: Число $t + 2\pi k$ получается из числа $t$ сдвигом на $2\pi k$. Если $k=0$, то точки совпадают. Если $k \neq 0$, то это разные точки. Расстояние между точкой $t$ и точкой $t + 2\pi k$ равно $|(t + 2\pi k) - t| = |2\pi k|$. В целом, это бесконечный набор точек, расположенных на равных расстояниях $2\pi$ друг от друга (если $k$ пробегает все целые значения).

На числовой окружности: Длина числовой окружности равна $2\pi$. Прибавление $2\pi k$ (где $k$ — целое число) к числу $t$ означает, что мы делаем $k$ полных оборотов по окружности и возвращаемся в исходную точку. Координаты точки не меняются: $\cos(t + 2\pi k) = \cos t$ и $\sin(t + 2\pi k) = \sin t$. Таким образом, все числа вида $t + 2\pi k$ соответствуют одной и той же точке на окружности.

Ответ: На числовой прямой это разные точки (если $k \neq 0$), отстоящие от точки $t$ на расстояние, кратное $2\pi$. На числовой окружности все эти числа соответствуют одной и той же точке, то есть точки совпадают.

в) $t$ и $t + \pi$

На числовой прямой: Точка $t + \pi$ находится правее точки $t$ на расстоянии $\pi$. Это две разные точки.

На числовой окружности: Прибавление $\pi$ к числу $t$ соответствует повороту точки на $180^\circ$ (или $\pi$ радиан). Точки, соответствующие числам $t$ и $t + \pi$, являются диаметрально противоположными. Координаты точки $t$ — это $(\cos t, \sin t)$, а координаты точки $t + \pi$ — это $(\cos(t+\pi), \sin(t+\pi)) = (-\cos t, -\sin t)$. Эти точки симметричны относительно центра окружности (начала координат).

Ответ: На числовой прямой точка $t+\pi$ смещена вправо от точки $t$ на расстояние $\pi$. На числовой окружности это две диаметрально противоположные точки.

г) $t + \pi$ и $t - \pi$

На числовой прямой: Это две разные точки. Расстояние между ними равно $|(t + \pi) - (t - \pi)| = |2\pi| = 2\pi$. Точка $t+\pi$ находится правее точки $t-\pi$ на $2\pi$. Обе точки симметричны относительно точки $t$.

На числовой окружности: Разность между числами $(t + \pi)$ и $(t - \pi)$ равна $2\pi$. Это соответствует одному полному обороту по окружности. Следовательно, оба числа, $t + \pi$ и $t - \pi$, соответствуют одной и той же точке на числовой окружности. Это можно проверить по координатам: точка для $t+\pi$ это $(\cos(t+\pi), \sin(t+\pi)) = (-\cos t, -\sin t)$, и точка для $t-\pi$ это $(\cos(t-\pi), \sin(t-\pi)) = (-\cos t, -\sin t)$. Координаты совпадают.

Ответ: На числовой прямой это две разные точки, расстояние между которыми равно $2\pi$. На числовой окружности они соответствуют одной и той же точке, то есть совпадают.

Найдите на числовой окружности все точки $M(t)$, соответствующие заданной формуле (во всех формулах предполагается, что $n \in \mathbb{Z}$):

11.15. a) $t = 2\pi n$;

б) $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

в) $t = \pi n$;

г) $t = \pm\frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

а) $t = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Формула $t = 2\pi n$ задает точки на числовой окружности, которые получаются из начальной точки $M(0)$ путем поворота на целое число полных оборотов. Давайте подставим несколько целых значений для $n$:
- при $n = 0$, $t = 2\pi \cdot 0 = 0$. Это начальная точка на окружности, ее координаты $(1, 0)$.
- при $n = 1$, $t = 2\pi \cdot 1 = 2\pi$. Сделав один полный оборот против часовой стрелки, мы возвращаемся в ту же точку $M(0)$.
- при $n = -1$, $t = 2\pi \cdot (-1) = -2\pi$. Сделав один полный оборот по часовой стрелке, мы снова оказываемся в точке $M(0)$.
Следовательно, для любого целого $n$ мы всегда будем попадать в одну и ту же точку на числовой окружности.

Ответ: Одна точка, соответствующая числу 0 (или $2\pi k$ для любого целого $k$).

б) $t = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Эта формула задает точки, полученные из точки $M(\frac{\pi}{2})$ добавлением целого числа полуоборотов ($\pi$). Рассмотрим несколько значений $n$:
- при $n = 0$, $t = \frac{\pi}{2}$. Это "верхняя" точка окружности с координатами $(0, 1)$.
- при $n = 1$, $t = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$. Сделав полуоборот из точки $M(\frac{\pi}{2})$, мы попадаем в "нижнюю" точку окружности с координатами $(0, -1)$.
- при $n = 2$, $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi$. Сделав еще один полуоборот (или полный оборот из начальной), мы возвращаемся в точку $M(\frac{\pi}{2})$.
- при $n = -1$, $t = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}$. Эта точка совпадает с точкой $M(\frac{3\pi}{2})$.
Таким образом, при четных значениях $n$ мы получаем точку $M(\frac{\pi}{2})$, а при нечетных — точку $M(\frac{3\pi}{2})$. Всего получается две точки.

Ответ: Две точки, соответствующие числам $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$.

в) $t = \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Эта формула задает точки, которые отстоят друг от друга на полуоборот ($\pi$).
- при $n = 0$, $t = 0$. Это "правая" точка окружности с координатами $(1, 0)$.
- при $n = 1$, $t = \pi$. Это "левая" точка окружности с координатами $(-1, 0)$.
- при $n = 2$, $t = 2\pi$. Эта точка совпадает с точкой $M(0)$.
- при $n = -1$, $t = -\pi$. Эта точка совпадает с точкой $M(\pi)$.
Таким образом, при четных значениях $n$ мы получаем точку $M(0)$, а при нечетных — точку $M(\pi)$. Всего получается две точки, диаметрально противоположные.

Ответ: Две точки, соответствующие числам 0 и $\pi$.

г) $t = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Эту запись можно рассматривать как объединение двух серий точек:
1) $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Слагаемое $2\pi n$ означает целое число полных оборотов. Поэтому при любом целом $n$ эта формула задает одну и ту же точку $M(\frac{\pi}{2})$ ("верхняя" точка).
2) $t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Аналогично, слагаемое $2\pi n$ означает целое число полных оборотов. Поэтому при любом целом $n$ эта формула задает одну и ту же точку $M(-\frac{\pi}{2})$, которая совпадает с точкой $M(\frac{3\pi}{2})$ ("нижняя" точка).
В результате мы получаем две точки на числовой окружности.

Ответ: Две точки, соответствующие числам $\frac{\pi}{2}$ и $-\frac{\pi}{2}$ (или $\frac{3\pi}{2}$).

11.16. a) $t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n;$

Б) $t = \frac{2\pi n}{3};$

В) $t = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n;$

Г) $t = \frac{\pi n}{3}.$

а) $t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Эта формула описывает два множества значений для $t$. В выражении $n$ является любым целым числом ($n \in \mathbb{Z}$), а слагаемое $2\pi n$ представляет собой целое число полных оборотов на единичной окружности. Это означает, что для каждого из двух знаков (плюс и минус) все значения $n$ приводят к одной и той же точке на окружности.

1. Первая серия решений: $t_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.
При любых целых $n$ (например, $n=0, 1, -1, \ldots$) мы получаем углы, которые на единичной окружности соответствуют одной и той же точке, а именно точке $P_1(\frac{\pi}{6})$.

2. Вторая серия решений: $t_2 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$.
Аналогично, при любых целых $n$ все эти углы соответствуют точке $P_2(-\frac{\pi}{6})$ на единичной окружности. Угол $-\frac{\pi}{6}$ также можно представить как $2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$.

Таким образом, данная формула задает две точки на единичной окружности. Эти точки симметричны относительно оси абсцисс. Эта формула является общим решением тригонометрического уравнения $\cos(t) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: Две точки на единичной окружности, соответствующие углам $\frac{\pi}{6}$ и $-\frac{\pi}{6}$.

б) $t = \frac{2\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$

Эта формула описывает одно множество значений $t$. Чтобы найти все различные точки на единичной окружности, будем подставлять последовательные целые значения для $n$ до тех пор, пока точки не начнут повторяться.

При $n=0$: $t = \frac{2\pi \cdot 0}{3} = 0$.
При $n=1$: $t = \frac{2\pi \cdot 1}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
При $n=2$: $t = \frac{2\pi \cdot 2}{3} = \frac{4\pi}{3}$.
При $n=3$: $t = \frac{2\pi \cdot 3}{3} = 2\pi$. Эта точка совпадает с точкой для $n=0$.
При $n=4$: $t = \frac{2\pi \cdot 4}{3} = \frac{8\pi}{3} = 2\pi + \frac{2\pi}{3}$. Эта точка совпадает с точкой для $n=1$.

Дальнейшее увеличение $n$ (или использование отрицательных значений) будет давать те же самые три точки. Например, при $n=-1$, $t = -\frac{2\pi}{3}$, что соответствует точке $\frac{4\pi}{3}$ ($-\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$). Таким образом, формула задает три точки на единичной окружности, которые являются вершинами правильного треугольника, вписанного в окружность.

Ответ: Три точки на единичной окружности, соответствующие углам $0$, $\frac{2\pi}{3}$ и $\frac{4\pi}{3}$.

в) $t = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Формула задает две серии точек. Слагаемое $\pi n$ означает добавление полоборота. Найдем все различные точки на окружности для каждой серии.

1. Первая серия: $t_1 = \frac{\pi}{3} + \pi n$.
При $n=0$: $t = \frac{\pi}{3}$.
При $n=1$: $t = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$.
При $n=2$: $t = \frac{\pi}{3} + 2\pi$. Точка совпадает с $n=0$.
Эта серия дает две диаметрально противоположные точки: $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{4\pi}{3}$.

2. Вторая серия: $t_2 = -\frac{\pi}{3} + \pi n$.
При $n=0$: $t = -\frac{\pi}{3}$ (или $\frac{5\pi}{3}$).
При $n=1$: $t = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3}$.
При $n=2$: $t = -\frac{\pi}{3} + 2\pi$. Точка совпадает с $n=0$.
Эта серия также дает две диаметрально противоположные точки: $-\frac{\pi}{3}$ и $\frac{2\pi}{3}$.

Всего получаем четыре различные точки. Эта формула является решением уравнения, например, $\cos(2t) = -\frac{1}{2}$.

Ответ: Четыре точки на единичной окружности, соответствующие углам $\frac{\pi}{3}$, $\frac{2\pi}{3}$, $\frac{4\pi}{3}$ и $\frac{5\pi}{3}$.

г) $t = \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$

Эта формула описывает одно множество значений $t$. Найдем все различные точки на единичной окружности, подставляя последовательные целые значения для $n$.

При $n=0$: $t = 0$.
При $n=1$: $t = \frac{\pi}{3}$.
При $n=2$: $t = \frac{2\pi}{3}$.
При $n=3$: $t = \frac{3\pi}{3} = \pi$.
При $n=4$: $t = \frac{4\pi}{3}$.
При $n=5$: $t = \frac{5\pi}{3}$.
При $n=6$: $t = \frac{6\pi}{3} = 2\pi$. Эта точка совпадает с точкой для $n=0$.

При дальнейших значениях $n$ точки будут циклически повторяться. Таким образом, формула задает шесть точек на единичной окружности. Эти точки являются вершинами правильного шестиугольника, вписанного в окружность. Эта формула является решением, например, уравнения $\sin(3t)=0$.

Ответ: Шесть точек на единичной окружности, соответствующие углам $0$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{2\pi}{3}$, $\pi$, $\frac{4\pi}{3}$ и $\frac{5\pi}{3}$.

11.17. a) $t = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n;$

б) $t = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2};$

в) $t = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n;$

г) $t = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}.$

В каждом пункте необходимо по заданной формуле для корней $t$ восстановить исходное тригонометрическое уравнение. В общем виде, $n$ является целым числом ($n \in \mathbb{Z}$).

Дана серия решений $t = (-1)^n\frac{\pi}{6} + \pi n$.

Эта формула является стандартной общей формулой для решения тригонометрического уравнения вида $\sin(t) = a$, которое записывается как $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$.

Сравнивая данную формулу с общей, мы можем определить, что $\arcsin(a) = \frac{\pi}{6}$.

Чтобы найти значение $a$, необходимо взять синус от обеих частей этого равенства:

$a = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$

Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.

Следовательно, исходное уравнение имеет вид $\sin(t) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\sin(t) = \frac{1}{2}$

Дана серия решений $t = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$.

Для определения вида исходного уравнения преобразуем данное выражение. Умножим обе части равенства на 2:

$2t = 2 \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}\right)$

$2t = \frac{2\pi}{4} + \frac{2\pi n}{2}$

$2t = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Выражение вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ является общей формулой для решения уравнения $\cos(x) = 0$.

В нашем случае $x = 2t$. Таким образом, исходное уравнение — это $\cos(2t) = 0$. Это уравнение эквивалентно уравнениям $\cot(2t)=0$ или $\tan^2(t)=1$, но является наиболее фундаментальным.

Ответ: $\cos(2t) = 0$

Дана серия решений $t = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{3} + \pi n$.

Эта формула очень похожа на общую формулу для решения уравнения $\sin(t) = a$, которая имеет вид $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$.

Преобразуем данное выражение, используя свойство степеней $(-1)^{n+1} = (-1)^n \cdot (-1)^1 = -(-1)^n$:

$t = -(-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \pi n$

Теперь, сравнив полученное выражение с общей формулой $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, мы можем заключить, что $\arcsin(a) = -\frac{\pi}{3}$.

Чтобы найти $a$, берем синус от обеих частей:

$a = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$

Поскольку синус является нечетной функцией ($\sin(-x) = -\sin(x)$), получаем:

$a = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Таким образом, исходное уравнение: $\sin(t) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\sin(t) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Дана серия решений $t = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$.

Чтобы определить исходное уравнение, преобразуем данное выражение. Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от дроби в периодической части:

$3t = 3 \left(-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}\right)$

$3t = -\frac{3\pi}{6} + \frac{3 \cdot 2\pi n}{3}$

$3t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Выражение вида $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$ является общей формулой для частного случая решения тригонометрического уравнения, а именно для $\sin(x) = -1$.

В нашем случае $x = 3t$. Следовательно, исходное уравнение имеет вид $\sin(3t) = -1$.

Для проверки решим уравнение $\sin(3t) = -1$. Обозначим $u=3t$. Решением $\sin(u)=-1$ является $u = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Подставляя обратно $3t$, получаем $3t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, откуда $t = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$, что полностью совпадает с данной в условии формулой.

Ответ: $\sin(3t) = -1$

Числовая окружность разделена точками на восемь равных частей (рис. 44). Составьте формулу для всех чисел, которым соответствуют точки:

11.18. a) A и C;

б) B и D;

в) M и P;

г) N и Q.

По условию, числовая окружность, длина которой равна $2\pi$, разделена на восемь равных частей. Это означает, что длина дуги между двумя соседними точками деления составляет $\frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$.

Так как в условии отсутствует рисунок 44, мы будем основываться на стандартном расположении точек. Предположим, что точки $A, B, C, D$ соответствуют пересечениям окружности с осями координат, а точки $M, N, P, Q$ — серединам дуг между ними. Тогда наименьшие неотрицательные числа, соответствующие этим точкам, будут:

• Точка A: $0$
• Точка M: $\frac{\pi}{4}$
• Точка B: $\frac{\pi}{2}$
• Точка N: $\frac{3\pi}{4}$
• Точка C: $\pi$
• Точка P: $\frac{5\pi}{4}$
• Точка D: $\frac{3\pi}{2}$
• Точка Q: $\frac{7\pi}{4}$

Во всех четырех случаях требуется найти формулу для пары диаметрально противоположных точек. Расстояние между такими точками по окружности равно $\pi$. Если $t_0$ — это одно из чисел, соответствующее первой точке, то общая формула для обеих точек имеет вид $t = t_0 + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Точке A соответствует число $0$, а точке C — число $\pi$. Используя общую формулу для диаметрально противоположных точек и взяв за основу точку A (число $0$), получаем: $t = 0 + \pi n = \pi n$.
Ответ: $t = \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Точке B соответствует число $\frac{\pi}{2}$, а точке D — число $\frac{3\pi}{2}$. Взяв за основу точку B (число $\frac{\pi}{2}$), получаем формулу: $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$.
Ответ: $t = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Точке M соответствует число $\frac{\pi}{4}$, а точке P — число $\frac{5\pi}{4}$. Взяв за основу точку M (число $\frac{\pi}{4}$), получаем формулу: $t = \frac{\pi}{4} + \pi n$.
Ответ: $t = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Точке N соответствует число $\frac{3\pi}{4}$, а точке Q — число $\frac{7\pi}{4}$. Взяв за основу точку N (число $\frac{3\pi}{4}$), получаем формулу: $t = \frac{3\pi}{4} + \pi n$.
Ответ: $t = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

11.19. a) $M$, $N$, $P$, $Q$;

Puc. 44

б) $A$, $M$, $B$, $N$, $C$, $P$, $D$, $Q$.

Puc. 45

a) M, N, P, Q;

На рисунке 44 изображена единичная окружность в системе координат. Точка А соответствует углу 0 радиан, точка В — углу $\pi/2$, точка С — углу $\pi$, точка D — углу $3\pi/2$. Точки M, N, P, Q делят каждую четверть пополам.

• Точка М находится в первой четверти и делит дугу АВ пополам. Угол, соответствующий точке М, равен $\frac{\pi/2}{2} = \frac{\pi}{4}$.

• Точка N находится во второй четверти и симметрична точке М относительно оси Оу. Угол, соответствующий точке N, равен $\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

• Точка P находится в третьей четверти и симметрична точке М относительно начала координат. Угол, соответствующий точке P, равен $\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$.

• Точка Q находится в четвертой четверти и симметрична точке М относительно оси Ох. Угол, соответствующий точке Q, равен $2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$.

Ответ: $M(\frac{\pi}{4})$, $N(\frac{3\pi}{4})$, $P(\frac{5\pi}{4})$, $Q(\frac{7\pi}{4})$.

б) A, M, B, N, C, P, D, Q.

На рисунке 45 окружность разделена на 12 равных дуг. Полный оборот составляет $2\pi$ радиан, следовательно, каждая дуга соответствует углу $\frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$ радиан. Отсчет углов ведется от точки А (положительное направление оси Ох) против часовой стрелки.

• Точка А является начальной точкой, ей соответствует угол $0$ радиан.

• Точка M отстоит от точки А на одну дугу, поэтому ей соответствует угол $1 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.

• Точка B отстоит от точки А на три дуги (и находится на оси Оу), ей соответствует угол $3 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.

• Точка N отстоит от точки А на две дуги, ей соответствует угол $2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.

• Точка C отстоит от точки А на шесть дуг (и находится на оси Ох), ей соответствует угол $6 \cdot \frac{\pi}{6} = \pi$.

• Точка P отстоит от точки А на четыре дуги, ей соответствует угол $4 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$.

• Точка D отстоит от точки А на девять дуг (и находится на оси Оу), ей соответствует угол $9 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$.

• Точка Q отстоит от точки А на пять дуг, ей соответствует угол $5 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Ответ: $A(0)$, $M(\frac{\pi}{6})$, $B(\frac{\pi}{2})$, $N(\frac{\pi}{3})$, $C(\pi)$, $P(\frac{2\pi}{3})$, $D(\frac{3\pi}{2})$, $Q(\frac{5\pi}{6})$.