Страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

10.11. Совпадает ли данная функция со своей обратной:

а) $y = \frac{7}{x}$;

б) $y = \frac{7}{x-2}$;

в) $y = -\frac{8}{x}$;

г) $y = 5 - \frac{8}{x}$?

Чтобы определить, совпадает ли функция со своей обратной, нужно для каждой функции найти её обратную и сравнить с исходной. Чтобы найти обратную функцию к $y = f(x)$, нужно выразить $x$ через $y$, а затем в полученном уравнении поменять переменные $x$ и $y$ местами.

а) Дана функция $y = \frac{7}{x}$.
Выразим $x$ через $y$ из данного уравнения:
$y \cdot x = 7$
$x = \frac{7}{y}$
Теперь, чтобы получить обратную функцию, меняем переменные $x$ и $y$ местами:
$y = \frac{7}{x}$
Сравнивая исходную функцию $y = \frac{7}{x}$ и обратную $y = \frac{7}{x}$, делаем вывод, что они совпадают.
Ответ: да, совпадает.

б) Дана функция $y = \frac{7}{x - 2}$.
Выразим $x$ через $y$ из данного уравнения:
$y(x - 2) = 7$
$x - 2 = \frac{7}{y}$
$x = \frac{7}{y} + 2$
Меняем переменные $x$ и $y$ местами:
$y = \frac{7}{x} + 2$
Исходная функция $y = \frac{7}{x - 2}$ и обратная к ней $y = \frac{7}{x} + 2$ не совпадают.
Ответ: нет, не совпадает.

в) Дана функция $y = -\frac{8}{x}$.
Выразим $x$ через $y$ из данного уравнения:
$y \cdot x = -8$
$x = -\frac{8}{y}$
Меняем переменные $x$ и $y$ местами:
$y = -\frac{8}{x}$
Исходная функция $y = -\frac{8}{x}$ и обратная к ней $y = -\frac{8}{x}$ совпадают.
Ответ: да, совпадает.

г) Дана функция $y = 5 - \frac{8}{x}$.
Выразим $x$ через $y$ из данного уравнения:
$y - 5 = -\frac{8}{x}$
$x(y - 5) = -8$
$x = \frac{-8}{y - 5} = \frac{8}{5 - y}$
Меняем переменные $x$ и $y$ местами:
$y = \frac{8}{5 - x}$
Исходная функция $y = 5 - \frac{8}{x}$ и обратная к ней $y = \frac{8}{5 - x}$ не совпадают.
Ответ: нет, не совпадает.

10.12. Задайте функцию, обратную данной; постройте её график:

а) $y = \begin{cases} 2x, \text{ если } x \le 0 \\ 3x, \text{ если } x > 0 \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} -5x - 3, \text{ если } x \le -1 \\ -1 - 3x, \text{ если } x > -1 \end{cases}$

в) $y = \begin{cases} -x, \text{ если } x < 0 \\ 3x, \text{ если } x \ge 0 \end{cases}$

г) $y = \begin{cases} 2x + 1, \text{ если } x \le 2 \\ \frac{1}{2}x + 4, \text{ если } x \ge 2 \end{cases}$

а)

Дана функция $ y = \begin{cases} 2x, & \text{если } x \le 0 \\ 3x, & \text{если } x > 0 \end{cases} $.

Эта функция является строго возрастающей на всей области определения, поэтому для нее существует обратная функция.

1. Рассмотрим ветвь $y = 2x$ при $x \le 0$.
Область значений для этой ветви: поскольку $x \le 0$, то $y = 2x \le 0$. Таким образом, $y \in (-\infty, 0]$.
Выразим $x$ через $y$: $x = \frac{y}{2}$.
Поменяв местами $x$ и $y$, получаем обратную функцию для этой ветви: $y = \frac{1}{2}x$. Область определения этой ветви соответствует области значений исходной ветви, т.е. $x \le 0$.

2. Рассмотрим ветвь $y = 3x$ при $x > 0$.
Область значений для этой ветви: поскольку $x > 0$, то $y = 3x > 0$. Таким образом, $y \in (0, +\infty)$.
Выразим $x$ через $y$: $x = \frac{y}{3}$.
Поменяв местами $x$ и $y$, получаем обратную функцию для этой ветви: $y = \frac{1}{3}x$. Область определения этой ветви: $x > 0$.

Объединяя обе ветви, получаем обратную функцию:

$ g(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}x, & \text{если } x \le 0 \\ \frac{1}{3}x, & \text{если } x > 0 \end{cases} $

График обратной функции симметричен графику исходной функции относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция $ g(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}x, & \text{если } x \le 0 \\ \frac{1}{3}x, & \text{если } x > 0 \end{cases} $.

б)

Дана функция $ y = \begin{cases} -5x - 3, & \text{если } x \le -1 \\ -1 - 3x, & \text{если } x > -1 \end{cases} $.

Обе ветви функции являются убывающими (коэффициенты при $x$ отрицательны: -5 и -3). В точке $x=-1$ значения совпадают: $y(-1)=-5(-1)-3=2$ и $y \to -1-3(-1)=2$ при $x \to -1^+$. Следовательно, функция является непрерывной и строго убывающей на всей области определения, а значит, для нее существует обратная функция.

1. Рассмотрим ветвь $y = -5x - 3$ при $x \le -1$.
Область значений: так как функция убывающая, $y \ge y(-1) = 2$. Таким образом, $y \in [2, +\infty)$.
Выразим $x$ через $y$: $y+3 = -5x \implies x = \frac{y+3}{-5} = -\frac{1}{5}y - \frac{3}{5}$.
Обратная функция для этой ветви: $y = -\frac{1}{5}x - \frac{3}{5}$ при $x \ge 2$.

2. Рассмотрим ветвь $y = -1 - 3x$ при $x > -1$.
Область значений: так как функция убывающая, $y < \lim_{x\to-1^+} (-1-3x) = 2$. Таким образом, $y \in (-\infty, 2)$.
Выразим $x$ через $y$: $y+1 = -3x \implies x = \frac{y+1}{-3} = -\frac{1}{3}y - \frac{1}{3}$.
Обратная функция для этой ветви: $y = -\frac{1}{3}x - \frac{1}{3}$ при $x < 2$.

Объединяя результаты, получаем обратную функцию:

$ g(x) = \begin{cases} -\frac{1}{3}x - \frac{1}{3}, & \text{если } x < 2 \\ -\frac{1}{5}x - \frac{3}{5}, & \text{если } x \ge 2 \end{cases} $

График обратной функции симметричен графику исходной функции относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция $ g(x) = \begin{cases} -\frac{1}{3}x - \frac{1}{3}, & \text{если } x < 2 \\ -\frac{1}{5}x - \frac{3}{5}, & \text{если } x \ge 2 \end{cases} $.

в)

Дана функция $ y = \begin{cases} -x, & \text{если } x < 0 \\ 3x, & \text{если } x \ge 0 \end{cases} $.

Проверим функцию на монотонность. На промежутке $(-\infty, 0)$ функция $y=-x$ убывает. На промежутке $[0, +\infty)$ функция $y=3x$ возрастает. Поскольку на всей области определения функция не является монотонной, она не является взаимно-однозначной (обратимой). Например, значению $y=3$ соответствуют два различных значения аргумента: $x_1=-3$ (из первой ветви) и $x_2=1$ (из второй ветви). Следовательно, обратной функции для данной функции не существует.

Однако можно найти обратное соотношение (или многозначную функцию), поменяв местами переменные $x$ и $y$ в определении исходной функции.

1. Для ветви $y = -x$ при $x < 0$. Область значений $y \in (0, +\infty)$. Меняем $x$ и $y$ местами: $x = -y$ при $y < 0$. Выражая $y$, получаем $y = -x$. Условие $y < 0$ превращается в $-x < 0$, то есть $x > 0$.

2. Для ветви $y = 3x$ при $x \ge 0$. Область значений $y \in [0, +\infty)$. Меняем $x$ и $y$ местами: $x = 3y$ при $y \ge 0$. Выражая $y$, получаем $y = \frac{1}{3}x$. Условие $y \ge 0$ превращается в $\frac{x}{3} \ge 0$, то есть $x \ge 0$.

Таким образом, обратное соотношение для $x \ge 0$ задается двумя формулами: $y = \frac{1}{3}x$ и (для $x>0$) $y=-x$. Это не является функцией, так как одному значению $x$ (кроме $x=0$) соответствуют два значения $y$.

График обратного соотношения симметричен графику исходной функции относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратной функции не существует, так как исходная функция не является монотонной. Обратное соотношение $g$ определяется для $x \ge 0$ и имеет вид $g(x) = \begin{cases} -x, & \text{если } x > 0 \\ \frac{1}{3}x, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$.

г)

Дана функция $ y = \begin{cases} 2x + 1, & \text{если } x \le 2 \\ \frac{1}{2}x + 4, & \text{если } x \ge 2 \end{cases} $.

Обе ветви функции являются возрастающими (коэффициенты при $x$ положительны: 2 и 1/2). В точке $x=2$ значения совпадают: $y(2)=2(2)+1=5$ и $y(2)=\frac{1}{2}(2)+4=5$. Следовательно, функция является непрерывной и строго возрастающей на всей области определения, а значит, для нее существует обратная функция.

1. Рассмотрим ветвь $y = 2x + 1$ при $x \le 2$.
Область значений: так как функция возрастающая, $y \le y(2) = 5$. Таким образом, $y \in (-\infty, 5]$.
Выразим $x$ через $y$: $y-1 = 2x \implies x = \frac{y-1}{2} = \frac{1}{2}y - \frac{1}{2}$.
Обратная функция для этой ветви: $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$ при $x \le 5$.

2. Рассмотрим ветвь $y = \frac{1}{2}x + 4$ при $x \ge 2$.
Область значений: так как функция возрастающая, $y \ge y(2) = 5$. Таким образом, $y \in [5, +\infty)$.
Выразим $x$ через $y$: $y-4 = \frac{1}{2}x \implies x = 2(y-4) = 2y-8$.
Обратная функция для этой ветви: $y = 2x - 8$ при $x \ge 5$.

Объединяя результаты, получаем обратную функцию:

$ g(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}, & \text{если } x \le 5 \\ 2x - 8, & \text{если } x \ge 5 \end{cases} $

График обратной функции симметричен графику исходной функции относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция $ g(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}, & \text{если } x \le 5 \\ 2x - 8, & \text{если } x \ge 5 \end{cases} $.

10.13. Задайте функцию, обратную данной; постройте графики заданной и обратной функций:

a) $y = \sqrt{x + 3}$;

б) $y = -\sqrt{2 - x}$;

в) $y = \sqrt{2x - 1}$;

г) $y = -\sqrt{3 - 5x}$.

а) $y = \sqrt{x + 3}$

1. Нахождение обратной функции.
Найдем область определения и область значений для исходной функции $y = \sqrt{x + 3}$.
Область определения $D(y)$: выражение под корнем должно быть неотрицательным. $x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3$. Итак, $D(y) = [-3; +\infty)$.
Область значений $E(y)$: арифметический квадратный корень всегда неотрицателен. $y \ge 0$. Итак, $E(y) = [0; +\infty)$.
Для нахождения обратной функции выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = \sqrt{x + 3}$. Поскольку $y \ge 0$, мы можем возвести обе части уравнения в квадрат: $y^2 = x + 3$
$x = y^2 - 3$
Теперь поменяем местами $x$ и $y$, чтобы получить обратную функцию: $y = x^2 - 3$
Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной функции: $x \ge 0$. Таким образом, обратная функция: $y = x^2 - 3$ при $x \ge 0$.

2. Построение графиков.
- График исходной функции $y = \sqrt{x + 3}$ — это ветвь параболы, выходящая из точки $(-3, 0)$ и идущая вправо и вверх. Это стандартный график $y = \sqrt{x}$, смещенный на 3 единицы влево по оси Ox.
- График обратной функции $y = x^2 - 3$ при $x \ge 0$ — это правая ветвь параболы с вершиной в точке $(0, -3)$. Это стандартный график $y = x^2$, смещенный на 3 единицы вниз по оси Oy, причем рассматривается только его часть при $x \ge 0$.
- Графики исходной и обратной функций симметричны относительно прямой $y = x$.

Ответ: Обратная функция: $y = x^2 - 3$, где $x \ge 0$.

б) $y = -\sqrt{2 - x}$

1. Нахождение обратной функции.
Найдем область определения и область значений для $y = -\sqrt{2 - x}$.
Область определения $D(y)$: $2 - x \ge 0 \implies x \le 2$. Итак, $D(y) = (-\infty; 2]$.
Область значений $E(y)$: так как $\sqrt{2 - x} \ge 0$, то $-\sqrt{2 - x} \le 0$. Итак, $E(y) = (-\infty; 0]$.
Выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = -\sqrt{2 - x}$. Учитывая, что $y \le 0$, возводим в квадрат обе части: $y^2 = 2 - x$
$x = 2 - y^2$
Меняем местами $x$ и $y$: $y = 2 - x^2$
Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной: $x \le 0$. Следовательно, обратная функция: $y = 2 - x^2$ при $x \le 0$.

2. Построение графиков.
- График исходной функции $y = -\sqrt{2 - x}$ — это ветвь параболы, выходящая из точки $(2, 0)$ и идущая влево и вниз. Это график $y = \sqrt{x}$, отраженный относительно оси Oy, смещенный на 2 единицы вправо по оси Ox, а затем отраженный относительно оси Ox.
- График обратной функции $y = 2 - x^2$ при $x \le 0$ — это левая ветвь параболы, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(0, 2)$. Это график $y = -x^2$, смещенный на 2 единицы вверх по оси Oy, причем рассматривается только его часть при $x \le 0$.
- Графики симметричны относительно прямой $y = x$.

Ответ: Обратная функция: $y = 2 - x^2$, где $x \le 0$.

в) $y = \sqrt{2x - 1}$

1. Нахождение обратной функции.
Найдем область определения и область значений для $y = \sqrt{2x - 1}$.
Область определения $D(y)$: $2x - 1 \ge 0 \implies 2x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{2}$. Итак, $D(y) = [\frac{1}{2}; +\infty)$.
Область значений $E(y)$: $y \ge 0$. Итак, $E(y) = [0; +\infty)$.
Выразим $x$ через $y$ из $y = \sqrt{2x - 1}$. При $y \ge 0$ возводим в квадрат: $y^2 = 2x - 1$
$2x = y^2 + 1$
$x = \frac{y^2 + 1}{2}$
Меняем местами $x$ и $y$: $y = \frac{x^2 + 1}{2}$
Область определения обратной функции: $x \ge 0$. Итак, обратная функция: $y = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}$ при $x \ge 0$.

2. Построение графиков.
- График исходной функции $y = \sqrt{2x - 1}$ — это ветвь параболы, выходящая из точки $(\frac{1}{2}, 0)$ и идущая вправо и вверх. Это график $y = \sqrt{x}$, сжатый к оси Oy в 2 раза и смещенный на $\frac{1}{2}$ вправо по оси Ox.
- График обратной функции $y = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}$ при $x \ge 0$ — это правая ветвь параболы с вершиной в точке $(0, \frac{1}{2})$. Это график $y = x^2$, сжатый к оси Ox в 2 раза (или растянутый от оси Oy) и смещенный на $\frac{1}{2}$ вверх по оси Oy. Рассматривается только часть при $x \ge 0$.
- Графики симметричны относительно прямой $y = x$.

Ответ: Обратная функция: $y = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}$, где $x \ge 0$.

г) $y = -\sqrt{3 - 5x}$

1. Нахождение обратной функции.
Найдем область определения и область значений для $y = -\sqrt{3 - 5x}$.
Область определения $D(y)$: $3 - 5x \ge 0 \implies 3 \ge 5x \implies x \le \frac{3}{5}$. Итак, $D(y) = (-\infty; \frac{3}{5}]$.
Область значений $E(y)$: $-\sqrt{3 - 5x} \le 0$. Итак, $E(y) = (-\infty; 0]$.
Выразим $x$ через $y$ из $y = -\sqrt{3 - 5x}$. При $y \le 0$ возводим в квадрат: $y^2 = 3 - 5x$
$5x = 3 - y^2$
$x = \frac{3 - y^2}{5}$
Меняем местами $x$ и $y$: $y = \frac{3 - x^2}{5}$
Область определения обратной функции: $x \le 0$. Итак, обратная функция: $y = \frac{3}{5} - \frac{1}{5}x^2$ при $x \le 0$.

2. Построение графиков.
- График исходной функции $y = -\sqrt{3 - 5x}$ — это ветвь параболы, выходящая из точки $(\frac{3}{5}, 0)$ и идущая влево и вниз.
- График обратной функции $y = \frac{3}{5} - \frac{1}{5}x^2$ при $x \le 0$ — это левая ветвь параболы, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(0, \frac{3}{5})$.
- Графики симметричны относительно прямой $y = x$.

Ответ: Обратная функция: $y = \frac{3 - x^2}{5}$, где $x \le 0$.

10.14. Может ли функция иметь обратную, если она:

а) линейная;

в) дробно-линейная;

б) квадратичная;

г) вида $y = \sqrt{x + a}$?

а) линейная;
Линейная функция задается формулой $y = kx + b$. Функция имеет обратную тогда и только тогда, когда она является строго монотонной (взаимно-однозначной).
Производная линейной функции равна $y' = k$. Если $k > 0$, функция строго возрастает на всей области определения ($\mathbb{R}$), а если $k < 0$ — строго убывает. В обоих этих случаях (при $k \neq 0$) функция является строго монотонной и, следовательно, обратимой. Обратную функцию можно найти, выразив $x$ через $y$: $y = kx + b \implies kx = y - b \implies x = \frac{y-b}{k}$. Обратная функция имеет вид $y_{inv}(x) = \frac{x-b}{k}$.
Если же $k=0$, то функция принимает вид $y = b$. Это постоянная функция, которая не является взаимно-однозначной (например, $f(1) = b$ и $f(2) = b$), а значит, не имеет обратной.
Таким образом, линейная функция может иметь обратную, если она не является постоянной ($k \neq 0$).
Ответ: Да, может.

б) квадратичная;
Квадратичная функция задается формулой $y = ax^2 + bx + c$ при $a \neq 0$. Область определения такой функции — все действительные числа ($\mathbb{R}$).
Графиком квадратичной функции является парабола, которая симметрична относительно вертикальной прямой $x = -b/(2a)$. Эта симметрия означает, что функция не является взаимно-однозначной: для любого значения $y$ из области значений (кроме значения в вершине) существуют два разных значения $x$, которым оно соответствует. Например, для функции $y=x^2$ имеем $f(-2)=4$ и $f(2)=4$.
Поскольку функция не является взаимно-однозначной на всей своей естественной области определения, она не имеет обратной.
Стоит отметить, что если сузить область определения квадратичной функции до интервала, на котором она строго монотонна (например, для $y=x^2$ взять промежуток $[0, +\infty)$), то на этом промежутке функция будет иметь обратную. Однако, рассматриваемая как функция на всей числовой оси, она необратима.
Ответ: Нет, не может, если рассматривать ее на всей числовой оси.

в) дробно-линейная;
Дробно-линейная функция задается формулой $y = \frac{ax+b}{cx+d}$. Будем считать, что она не является ни линейной ($c \neq 0$), ни постоянной ($ad-bc \neq 0$). Область определения такой функции $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{-d/c\}$.
Для проверки на обратимость исследуем ее на монотонность с помощью производной: $y' = \frac{(ax+b)'(cx+d) - (ax+b)(cx+d)'}{(cx+d)^2} = \frac{ad-bc}{(cx+d)^2}$.
Знаменатель $(cx+d)^2$ всегда положителен в области определения. Знак производной зависит от знака определителя $\Delta = ad-bc$. Если $ad-bc > 0$, то $y' > 0$, и функция строго возрастает на каждом из интервалов своей области определения: $(-\infty, -d/c)$ и $(-d/c, +\infty)$. Если же $ad-bc < 0$, то $y' < 0$, и функция строго убывает на каждом из этих интервалов.
В любом случае (при $ad-bc \neq 0$) функция является взаимно-однозначной на своей области определения и, следовательно, имеет обратную. Обратная функция находится решением уравнения относительно $x$ и имеет вид $y_{inv}(x) = \frac{-dx+b}{cx-a}$.
Ответ: Да, может.

г) вида $y = \sqrt{x+a}$;
Функция задана формулой $y = \sqrt{x+a}$. Ее область определения находится из условия $x+a \ge 0$, то есть $x \in [-a, +\infty)$. Область значений функции: $y \in [0, +\infty)$.
Проверим функцию на монотонность. Найдем ее производную: $y' = (\sqrt{x+a})' = \frac{1}{2\sqrt{x+a}}$.
На всей области определения, где производная существует (то есть при $x > -a$), $y' > 0$. Это означает, что функция является строго возрастающей на всей своей области определения $[-a, +\infty)$.
Поскольку функция строго монотонна, она имеет обратную. Найдем ее, выразив $x$ из исходного уравнения: $y = \sqrt{x+a} \implies y^2 = x+a$ (при условии $y \ge 0$). Отсюда $x = y^2 - a$.
Меняя местами $x$ и $y$, получаем обратную функцию $y_{inv}(x) = x^2 - a$. Ее область определения совпадает с областью значений исходной функции, то есть $x \ge 0$.
Ответ: Да, может.

10.15. Обязательно ли функция имеет обратную, если она:

а) линейная;

б) дробно-линейная;

в) вида $y = \sqrt{x + a}$;

г) вида $y = x^3 + a$?

Для того чтобы функция имела обратную, она должна быть обратимой, то есть взаимно-однозначной (биективной). Для функции, определенной на подмножестве действительных чисел, достаточным условием существования обратной функции является ее строгая монотонность (строгое возрастание или строгое убывание) на всей области определения.

а) линейная;

Линейная функция имеет общий вид $y = kx + b$, где $k$ и $b$ — некоторые константы. Чтобы определить, обязательно ли у нее есть обратная, нужно проверить ее на строгую монотонность для любых возможных значений $k$ и $b$.

1. Если коэффициент $k \neq 0$, то функция является строго монотонной. При $k > 0$ она строго возрастает, а при $k < 0$ — строго убывает. В обоих случаях функция взаимно-однозначна и имеет обратную.

2. Если коэффициент $k = 0$, функция принимает вид $y = b$. Это постоянная функция, график которой — прямая, параллельная оси абсцисс. Разным значениям аргумента $x$ (например, $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$) соответствует одно и то же значение функции $y=b$. Такая функция не является взаимно-однозначной, а значит, не имеет обратной.

Поскольку существует случай ($k = 0$), в котором линейная функция не имеет обратной, то не любая линейная функция обязательно имеет обратную.

Пример: функция $y = 5$ является линейной (здесь $k=0, b=5$), но не имеет обратной.

Ответ: нет, не обязательно.

б) дробно-линейная;

Дробно-линейная функция имеет общий вид $y = \frac{ax+b}{cx+d}$.

1. В общем случае, когда $c \neq 0$ и определитель $ad - bc \neq 0$, функция не является ни линейной, ни постоянной. Её производная $y' = \frac{ad-bc}{(cx+d)^2}$ имеет постоянный знак на всей области определения ($x \neq -d/c$), так как знаменатель $(cx+d)^2$ всегда положителен. Это означает, что функция строго монотонна на каждом из интервалов своей области определения и является взаимно-однозначной. Следовательно, в этом случае обратная функция существует.

2. Рассмотрим вырожденный случай, когда $ad - bc = 0$. Если $c \neq 0$, то из этого условия следует, что $a/c = b/d$. Пусть это отношение равно $k$. Тогда $a=ck$ и $b=dk$. Подставив в исходную формулу, получим: $y = \frac{ckx+dk}{cx+d} = \frac{k(cx+d)}{cx+d} = k$ для всех $x$ из области определения. То есть, функция является постоянной. Как и в пункте а), постоянная функция не имеет обратной.

Так как существует вырожденный случай, в котором дробно-линейная функция не имеет обратной, то не любая дробно-линейная функция обязательно имеет обратную.

Пример: функция $y = \frac{2x+4}{x+2} = \frac{2(x+2)}{x+2} = 2$ (при $x \neq -2$). Эта функция является дробно-линейной ($a=2, b=4, c=1, d=2$, при этом $ad-bc = 2 \cdot 2 - 4 \cdot 1 = 0$), но она постоянна на своей области определения и не имеет обратной.

Ответ: нет, не обязательно.

в) вида $y = \sqrt{x} + a$;

Рассмотрим функцию $y = f(x) = \sqrt{x} + a$. Область определения этой функции — все неотрицательные числа, то есть $D(f) = [0, +\infty)$.

Чтобы проверить наличие обратной функции, исследуем ее на монотонность. Найдем производную:

$y' = (\sqrt{x} + a)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Для любого $x$ из области определения ($x > 0$) производная $y' > 0$. Это означает, что функция является строго возрастающей на всей своей области определения $[0, +\infty)$.

Поскольку функция строго монотонна при любом значении параметра $a$, она всегда является взаимно-однозначной и, следовательно, всегда имеет обратную функцию.

Ответ: да, обязательно.

г) вида $y = x^3 + a$?

Рассмотрим функцию $y = f(x) = x^3 + a$. Область определения этой функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

Исследуем функцию на монотонность с помощью производной:

$y' = (x^3 + a)' = 3x^2$.

Производная $y' = 3x^2 \ge 0$ для всех действительных значений $x$. Она обращается в ноль только в одной точке $x=0$. Функция, производная которой неотрицательна (или неположительна) и равна нулю лишь в изолированных точках, является строго монотонной. В данном случае функция строго возрастает на всей числовой оси.

Так как функция является строго монотонной при любом значении параметра $a$, она всегда взаимно-однозначна и всегда имеет обратную функцию.

Ответ: да, обязательно.

10.16. Может ли функция иметь обратную, если она:

а) чётная;

б) нечётная;

в) периодическая;

г) непериодическая?

Для того чтобы у функции существовала обратная, необходимо и достаточно, чтобы она была инъективной (или взаимно однозначной). Это означает, что для любых двух различных значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из области определения функции, значения функции также должны быть различны: $f(x_1) \neq f(x_2)$. Геометрически это означает, что любая горизонтальная прямая пересекает график функции не более чем в одной точке. Строго монотонные функции (строго возрастающие или строго убывающие) всегда имеют обратную функцию.

а) чётная;

Чётная функция по определению удовлетворяет условию $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из её области определения, которая должна быть симметричной относительно нуля.

Рассмотрим любую чётную функцию, область определения которой содержит хотя бы одно ненулевое число $x_0$. Тогда в её область определения входит и число $-x_0$. При этом $x_0 \neq -x_0$.

Согласно определению чётной функции, $f(x_0) = f(-x_0)$. Мы получили, что двум разным значениям аргумента ($x_0$ и $-x_0$) соответствует одно и то же значение функции. Это означает, что функция не является инъективной.

Например, функция $f(x) = x^2$ является чётной. Для неё $f(2) = 4$ и $f(-2) = 4$. Так как разным аргументам соответствуют одинаковые значения, обратной функции на всей числовой оси у неё нет.

Исключением является только тривиальный случай, когда область определения функции состоит из одного числа — нуля: $D = \{0\}$. В этом случае функция (например, $f(0)=0$) будет одновременно и чётной, и инъективной. Однако в общем случае, для нетривиальных областей определения, чётная функция не может иметь обратную.

Ответ: Нет (за исключением тривиального случая функции, определённой только в точке $x=0$).

б) нечётная;

Нечётная функция по определению удовлетворяет условию $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из её симметричной области определения.

Это свойство не мешает функции быть инъективной. Рассмотрим в качестве примера степенную функцию $f(x) = x^3$.

• Эта функция является нечётной, так как $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$.
• Эта функция является строго возрастающей на всей своей области определения ($ \mathbb{R} $), а значит, она инъективна. Каждому значению $y$ соответствует единственное значение $x$.

Поскольку функция $f(x) = x^3$ инъективна, она имеет обратную функцию: $f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y}$.

Таким образом, нечётная функция может иметь обратную. Стоит отметить, что не все нечётные функции имеют обратную. Например, $f(x) = x^3 - 4x$ является нечётной, но не инъективной ($f(2)=0, f(-2)=0, f(0)=0$).

Ответ: Да.

в) периодическая;

Функция $f(x)$ называется периодической, если существует такое число $T \neq 0$ (период), что для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Из самого определения следует, что существуют различные значения аргумента ($x$ и $x+T$), в которых функция принимает одинаковые значения. Это прямое нарушение условия инъективности.

Например, для функции $f(x) = \sin(x)$ с периодом $T=2\pi$, имеем $\sin(0) = 0$ и $\sin(2\pi) = 0$. Так как $0 \neq 2\pi$, а значения функции совпадают, она не является инъективной и не имеет обратной на всей области определения.

Следовательно, ни одна не-постоянная периодическая функция не может иметь обратную. Постоянная функция $f(x)=c$ также не имеет обратной, если её область определения содержит более одной точки.

Ответ: Нет.

г) непериодическая?

Непериодическая функция — это функция, которая не является периодической.

Это свойство не накладывает никаких ограничений на инъективность. Более того, любая функция, имеющая обратную на неограниченном или связном множестве, должна быть непериодической, как показано в пункте в).

Приведём примеры непериодических функций, которые имеют обратную:

• $f(x) = ax+b$ (при $a \neq 0$) — линейная функция, непериодическая, строго монотонная, имеет обратную.
• $f(x) = e^x$ — показательная функция, непериодическая, строго возрастающая, имеет обратную $f^{-1}(y) = \ln(y)$.
• $f(x) = x^3$ — степенная функция, непериодическая, строго возрастающая, имеет обратную $f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y}$.

Таким образом, непериодическая функция может иметь обратную.

Ответ: Да.

10.17. Может ли функция иметь обратную, если она:

а) возрастающая;

б) убывающая;

в) имеет три нуля;

г) не имеет нулей?

а) возрастающая;

Для того чтобы функция имела обратную, она должна быть инъективной (или взаимно однозначной). Это означает, что разным значениям аргумента должны соответствовать разные значения функции. Формально, если $x_1 \neq x_2$, то $f(x_1) \neq f(x_2)$.

Функция называется (строго) возрастающей, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из ее области определения из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Из этого определения напрямую следует, что если $x_1 \neq x_2$, то и $f(x_1) \neq f(x_2)$. Таким образом, любая строго возрастающая функция является инъективной, а значит, имеет обратную.

Например, линейная функция $f(x) = 2x + 3$ является возрастающей на всей числовой прямой и имеет обратную функцию $f^{-1}(y) = \frac{y-3}{2}$.

Ответ: да, может.

б) убывающая;

Аналогично предыдущему пункту, необходимым и достаточным условием существования обратной функции является ее инъективность.

Функция называется (строго) убывающей, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из ее области определения из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Это свойство также гарантирует инъективность функции: если $x_1 \neq x_2$, то $f(x_1) \neq f(x_2)$. Следовательно, любая строго убывающая функция имеет обратную.

Например, функция $f(x) = -x$ является убывающей на всей числовой прямой и имеет обратную функцию $f^{-1}(y) = -y$.

Ответ: да, может.

в) имеет три нуля;

Нуль функции — это такое значение аргумента $x$, при котором значение функции равно нулю, то есть $f(x) = 0$.

Если функция имеет три нуля, это означает, что существуют три различных значения аргумента $x_1, x_2, x_3$ такие, что $f(x_1) = 0$, $f(x_2) = 0$ и $f(x_3) = 0$.

Поскольку $x_1 \neq x_2$, но $f(x_1) = f(x_2) = 0$, то нарушается условие инъективности. Функция сопоставляет разным аргументам ($x_1$ и $x_2$) одно и то же значение (0).

Следовательно, функция, имеющая более одного нуля, не является инъективной и не может иметь обратную.

Ответ: нет, не может.

г) не имеет нулей?

Если функция не имеет нулей, это означает, что $f(x) \neq 0$ для любого $x$ из области определения. Это свойство никак не противоречит условию инъективности.

Чтобы ответить на вопрос, достаточно привести пример функции, которая не имеет нулей и при этом имеет обратную.

Рассмотрим показательную функцию $f(x) = e^x$. Ее область значений — $(0, +\infty)$, поэтому она никогда не обращается в ноль. При этом функция является строго возрастающей, а значит, инъективной. У нее есть обратная функция — натуральный логарифм $f^{-1}(y) = \ln(y)$.

Другой пример: функция $f(x) = \frac{1}{x}$ (для $x \neq 0$). У нее нет нулей, и она является инъективной, так как из $\frac{1}{x_1} = \frac{1}{x_2}$ следует $x_1 = x_2$. Ее обратная функция — она сама: $f^{-1}(y) = \frac{1}{y}$.

Ответ: да, может.

10.18. Рассмотрите график функции, представленный на рисунке, и укажите несколько числовых промежутков, на которых данная функция имеет обратную, и несколько, — на которых она не имеет обратной:

Рис. 38

Рис. 39

Рис. 40

Рис. 41

Для того чтобы функция имела обратную на некотором числовом промежутке, необходимо и достаточно, чтобы она была на этом промежутке строго монотонной, то есть либо строго возрастала, либо строго убывала. Если на промежутке функция имеет хотя бы один локальный экстремум (точку максимума или минимума), то она не является строго монотонной на этом промежутке, и, следовательно, обратной функции не существует.

а) рис. 38;
Из графика видно, что функция является строго монотонной на следующих промежутках:
- строго возрастает на $ [-3, -1] $ и $ [2, 4] $;
- строго убывает на $ [-1, 2] $ и $ [4, 5] $.
На каждом из этих промежутков, а также на любом их подмножестве, функция имеет обратную.

Функция не имеет обратной на любом промежутке, который содержит точку экстремума. Например:
- на промежутке $ [-2, 0] $, так как он содержит точку максимума при $x=-1$;
- на промежутке $ [1, 3] $, так как он содержит точку минимума при $x=2$;
- на промежутке $ [3, 5] $, так как он содержит точку максимума при $x=4$.

Ответ: функция имеет обратную, например, на промежутках $ [-3, -1] $, $ [-1, 2] $, $ [2, 4] $; функция не имеет обратной, например, на промежутках $ [-2, 0] $, $ [1, 3] $, $ [-3, 5] $.

б) рис. 39;
Из графика видно, что функция является строго монотонной на следующих промежутках:
- строго возрастает на $ [-2, -1] $ и $ [1, 3] $;
- строго убывает на $ [-1, 1] $.
На каждом из этих промежутков функция имеет обратную.

Функция не имеет обратной на промежутках, где она немонотонна. Например:
- на промежутке $ [-2, 0] $, так как он содержит точку максимума при $x=-1$;
- на промежутке $ [0, 2] $, так как он содержит точку минимума при $x=1$.

Ответ: функция имеет обратную, например, на промежутках $ [-2, -1] $, $ [-1, 1] $, $ [1, 3] $; функция не имеет обратной, например, на промежутках $ [-2, 0] $, $ [0, 2] $, $ [-2, 3] $.

в) рис. 40;
Из графика видно, что функция является строго монотонной на следующих промежутках:
- строго возрастает на $ [-3, -1] $ и $ [2, 4] $;
- строго убывает на $ [-1, 2] $.
На каждом из этих промежутков функция имеет обратную.

Функция не имеет обратной на промежутках, где она немонотонна. Например:
- на промежутке $ [-2, 1] $, так как он содержит точку максимума при $x=-1$;
- на промежутке $ [0, 3] $, так как он содержит точку минимума при $x=2$.

Ответ: функция имеет обратную, например, на промежутках $ [-3, -1] $, $ [-1, 2] $, $ [2, 4] $; функция не имеет обратной, например, на промежутках $ [-2, 1] $, $ [0, 3] $, $ [-3, 4] $.

г) рис. 41.
Из графика видно, что функция является строго монотонной на следующих промежутках:
- строго возрастает на $ [-1, 1] $ и $ [3, 4] $;
- строго убывает на $ [-3, -1] $ и $ [1, 3] $.
На каждом из этих промежутков функция имеет обратную.

Функция не имеет обратной на промежутках, где она немонотонна. Например:
- на промежутке $ [-2, 0] $, так как он содержит точку минимума при $x=-1$;
- на промежутке $ [0, 2] $, так как он содержит точку максимума при $x=1$;
- на промежутке $ [2, 4] $, так как он содержит точку минимума при $x=3$.

Ответ: функция имеет обратную, например, на промежутках $ [-3, -1] $, $ [-1, 1] $, $ [1, 3] $; функция не имеет обратной, например, на промежутках $ [-2, 0] $, $ [0, 2] $, $ [2, 4] $.